银川一中2017年中考自主招生考试数学试卷
（时间：90分钟卷分：120分）
一、选择题（每题5分，共50分）
1、银川一中为有效开展“阳光体育”活动，计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元。
若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（）
A.16个
B.17个
C.33个
D.34个
答案详解
A
正确率: 64%, 易错项: B
解析:
本题主要考查一元一次不等式的应用。
设篮球可以购买个，那么足球则购买了个。
买篮球总共花元，买足球共花元，由资金不超过列不等式
，解得，由于必须取整数则篮球最多买个。
故本题正确答案为A。
2、若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（）。
A: B: 且C: D:
答案详解
C
正确率: 43%, 易错项: B
解析:
本题主要考查二次函数与一元二次方程的联系。
记，那么原方程有实数根就转化为该函数与轴图象有交点即可。
当时，函数为一条直线必与轴有交点，即原方程有实数根，可取排除B选项。
当时，函数为二次抛物线，根据判别式定理时，函数必与轴相交，即时原方程有实数根。
综上为所求。
故本题正确答案为C。
3、已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数,则下列图象中,能正确反映y 与x之间函数关系的图象是( )
A B C D
答案详解
解:由题意得,,
所以,,
由三角形的三边关系得,,
解不等式①得,,
解不等式②的,,
所以,不等式组的解集是,
正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象.
所以D选项是正确的.
4、一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有个小正方体组成，最少有个小正方体组成，则等于（）。
A: B: C: D:
答案详解
C
正确率: 68%, 易错项: B
解析:
本题主要考查三视图。
包含最多小正方形和最少小正方形的立体几何图如下：
由下图可知，，故。
5、一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（）。
A: B: C: D:
答案详解
A
正确率: 49%, 易错项: B
解析:
本题主要考查圆锥和几何体的平面展开图。
设圆锥底面半径为，则，又设圆锥母线长为，
则，
因为，即，
所以，所以，即扇形弧长为整个圆周长的，所以。
故本题正确答案为A。
6、某共享单车前公里元，超过公里的，每公里元，若要使使用该共享单车的人只花元钱，应该要取什么数（）。
A: 平均数B: 中位数C: 众数D: 方差
答案详解
B
正确率: 42%, 易错项: C
解析:本题主要考查数据的分析。
根据中位数的定义，其值总是将所有数据按从小到大依次排列后，处于最中间的那个数（或中间两个数的平均数）。
因而当取中位数时，必有一半的数据在该值以下，即共享单车的人只花元钱。
故B项符合题意。
故本题正确答案为B。
7、我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D 落在y轴正半轴上点D'处,则点C的对应点C'的坐标为( )
A. B. C. D.
答案详解
解:, , ,
,,
,
所以D选项是正确的.
8、如图,在中,,,以BC的中点O为圆心作圆，分别与AB,AC 相切于D,E两点,则的长为( )
A. B. C. D.
答案详解解:连接OE、OD,
设半径为r,
∵分别与AB,AC相切于D,E两点,
,,
是BC的中点,
是中位线,
, ,
同理可知:, ,
,
由勾股定理可知,
,
故选(B)
9、如图，学校环保社成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为
，的长为，则树的高度是（）。
A: B: C: D:
答案详解
B
正确率: 49%, 易错项: A
解析:本题主要考查角的概念及其计算。
因为，则，所以，
又在中，，所以，
则，所以，则，
所以。
故本题正确答案为B。
10、如图，已知的顶点坐标分别为、、。
若二次函数
的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是（）。
A: B: C: D:
答案详解C
正确率: 49%, 易错项: A
解析:本题主要考查二次函数的图象与性质。
二次函数与轴的交点为，
因为点的坐标是，所以对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，所以。
故本题正确答案为C。
二、填空题（每题5分，共20分）
11、己知,,求（2x+y）2+(x+y)(x-y)-5x(x-y)=
12、如图,用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:则第⑦个图案有个黑色棋子.
答案详解
解:第一个图需棋子1,
第二个图需棋子,
第三个图需棋子,
第四个图需棋子,
…
第n个图需棋子枚.
所以第⑦个图形有19颗黑色棋子.
故答案为:19;
13、如图，在矩形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，则的长是。
答案详解C正确率: 55%, 易错项: B
解析:本题主要考查矩形。
因为四边形是矩形，所以，
由折叠可得，所以，，，
在中，，，
根据勾股定理得：，即，
设，则有，
根据勾股定理得：，解得：（负值舍去），
则。
故本题正确答案为C。
14、如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在
和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：；；；
（为实数）；点，，是该抛物线上的点，则，正确的个数有。
答案详解B
正确率: 0%
解析:本题主要考查二次函数的图象与性质。
①项，由对称轴公式知，所以结论①正确；
②项，由对称轴的性质知，而，故结论②正确；
③项，由图象知，又，即，则，故结论正确；
④项，要使对于任意恒成立，只需要证明对于任意恒成立，又，即证恒成立，尽管，但时该式可以为0，不总是对于任意永远小于0，故结论④错误；
⑤项，由抛物线性质知，离对称轴最近的点值越大或越小，显然，离对称轴最近，其次是，然后是，所以，故结论⑤错误；
综上所述，故正确个数有个。
故本题正确答案为B。
三、解答题（共50分）
15（10分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表。
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有_____人，_____，_____ 。
（2）求扇形统计图中扇形的圆心角度数。
（3）该校共有学生人，请估计每月零花钱的数额在范围的人数。
答案详解
（1），，。
（2），即扇形统计图中扇形的圆心角为。
（3），
即每月零花钱的数额在范围的人数为。
16、（12分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话。
请问：
（1）年到年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少?
（2）年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
答案详解（1）设年到年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是，
依题意得：，
解得，（舍去）。
答：年到年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是。
（2）设甜甜在年六一收到微信红包为元，
依题意得：，
解得，所以（元）。
答：甜甜在年六一收到微信红包为元，则她妹妹收到微信红包为元。
17、如图，是的直径，点在的延长线上，平分交于点，且，垂足为点。
（1）求证：直线是的切线。
（2）若，，求弦的长。
答案详解
（1）证明：连结，如图所示，
因为平分，所以，
因为，所以，所以，所以，因为，所以，
所以直线是的切线。
（2）因为，所以，因为，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，，
设，则，
在中，根据勾股定理可知，所以，所以。
18、如图，抛物线经过点，交轴于点:
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）。
（2）点为轴右侧抛物线上一点，是否存在点使，若存在请直接给出点坐标；若不存在请说明理由。
（3）将直线绕点顺时针旋转，与抛物线交于另一点，求的长。
答案详解
(1)因为抛物线交轴于点，，那么，横坐标可以看做是抛物线方程等于时的两个根。
即有根，。
则，解得。
所以抛物线解析式为。
(2)由知，。
在抛物线解析式中令，得，即，代入抛物线中，且在轴右侧，得或或。
(3)根据两直线夹角公式知，，而，且，解得或。
因为，所以直线的解析式，
与抛物线联立得方程，即，。
根据直线距离坐标公式知，。