1 2
3
4 1 2
( B1 )
2 3 4
3 21 31
3
4
( B2 )
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x 4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调 i , j 两行, 记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj） .
显然，非零行的行数为2，
R A 2.
此方法简单！
四、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理 1 若 A ~ B, 则 R A R B .
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R( B ).
4 2 B 1 2 9
2 r2 r31 1 1 1 2 1 r3 22 r1 0 B1 0 3 5 1 r4 32 r1 3 0 9 6 3
1 2 4 1 1 2 2 2 1 5 2 3 7 3 9 4
2
变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.
定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 k 阶子 式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话 ）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零. m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的
行阶梯形矩阵中非零行 的行数. 所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
三、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .
矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k m , k n），位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改
子式的最高阶数.
对于 AT， 显有 R( AT ) R( A).
例1
1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1
解
1 2 在 A 中， 0. 2 3
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 的秩. 例2 求矩阵 B 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
r2 4 r3 r3 0 2r1 B 2 6 r 3r1 4 3
r2 2 r3 5r2
r4 3r2
1 0 0 0
4 1 1 1 0 B3 0 0 2 6 0 0 1 3
1 2 1
1 r3 r4 0 B3 r4 2r3 0 0
计算A的3阶子式，
1 3 2 3 2 2 1 2 2 2 0, 1 3 , 1 3 0, 00 , 2 3 0 0 2 1 0 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
R A 2.
1 3 2 2 另解 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5 1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 , 2 0 1 5 0 0 0 0
1 0 0 c5 4c1 3c2 3c3 0
c3 c4 c4 c1 c2
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Er O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
1 0 例如， B 5 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 4 4 0 0 1 0 3 3 F 0 00 33 0 0 0 0 0
其非零行有3行， 解 B是一个行阶梯形矩阵，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
3 2 0, 4
R( B ) 3.
1 例3 已知 A 0 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 0 1 5
行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵，即非 零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列 的其他元素都为零.
对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算． 若记 1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B ( A b) 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．
就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
r1 r2
r3 2
1 2 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7
富，难度较大.
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
其中c为任意常数.
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵 .
特点： （1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零； （2）、每个 台阶 只有一行，
1 0 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 B5 0 0 1 3 0 0 0 0
台，即非零行的第一个非 零元．
第六节、矩阵的初等变换和秩
一、消元法解线性方程组的过程．
二、矩阵的初等变换 三、矩阵的秩 四、矩阵的秩的求法
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方
法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性
方程组有非零解的充分必要条件和非齐次
线性方程组有解的充分必要条件，并介绍
用初等变换解线性方程组的方法．内容丰
（ 2）
其中c为任意常数.
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元 法． 2 ．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B． 等价关系的性质：
（1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
r2 r3
4 1 1 0 3 B5 0 0 1 3 0 0 0 0
x1 x3 4 B5 对应的方程组为 x2 x3 3 x 3 4
或令x3 c, 方程组的解可记作
x1 c 4 1 4 x2 c 3 1 3 x c 1 0 x3 c 3 0 3 x 4
r1 r2
11 10 00 00 1 0 0 0
12 11 00 00
12 11 20 10
14 4 r3 r4 10 0 B4 16 3 r4 2r3 0 0 3
0 1 0
1 2
3
4
2
(1)
解
1 2 3 2
(1)
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) 若( A) 若( A)
i i i
j
k k
j
( B ), 则( B ) ( B ), 则( B ) ( B ), 则( B )
i
i i
j
( A);
k ( A); k
j