第17讲 锐角三角函数（解直角三角形）☞【基础知识归纳】☜☞归纳1. 锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b ，则∠A 的正弦：sinA=∠A 的对边斜边= a c ； ∠A 的余弦：cosA=∠A 的邻边斜边= bc∠A 的正切：tanA=∠A 的对边∠A 的邻边= ab ； 它们统称为∠A 的锐角三角函数[注意] 锐角三角函数值只与角的大小有关，与 边的长度 无关. ☞归纳2. 特殊角的三角函数值sin30°=12； cos30°； tan30°sin45°= 2； cos45°= 2 ； tan45°= 1sin60°； cos60°= 12； tan60°☞归纳3. 解直角三角形(1) 定义：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即 3 条边和 2 个锐角． 由这些元素中的一些已知元素，求出其它未知元素的过程叫做 解直角三角形 (2) 常用关系：在Rt △ABC 中，∠C=90°，则：①三边关系(勾股定理)：22a b += 2c ②两锐角关系(互余)：∠A ＋∠B= 90° ③边与角关系：锐角三角函数☞归纳4.解直角三角形的应用中的专业名词(1)仰角和俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 上方 的叫仰角．．， 视线在水平线 下方 的叫俯角．． (2)坡度和坡角坡度: 坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i =hl坡角: 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ：i=tana(3)方向角(或方位角): 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一、锐角三角函数的概念及特殊角函数值【例1】（2015崇左）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（ ）A. sinA=1213B. cosA=1213C. tanA=512D. tanB=125【答案】A【解析】在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12,根据勾股定理得5=A 选项, 12sin 13BC A AB ==，正确； B 选项, 5cos 13AC A AB ==, 错误; C 选项, 12tan 5BC A AC ==, 错误; D 选项, 5tan 12AC B BC ==, 错误;【例2】（2016永州）下列式子错误的是（ ）A. cos40°=sin50°B. tan15°•tan75°=1C. sin 225°+cos 225°=1 D. sin60°=2sin30° 【答案】D【解析】sin60°=2，sin30°=12，所以sin60°=2sin30°错误【举一反三】1. (2016无锡) sin30°的值为（ ）A.12C. 2【答案】A【解析】只需熟记特殊角的三角函数值表。

2. (2015玉林) 22cos 45sin 45+=（ ）A.12 B. 1 C. 14D. 2【答案】B【解析】2222211cos 45sin 45()(12222+=+=+=☺ 题型二、解直角三角形【例3】（2016兰州）在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，则AB=（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】D【解析】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，3sin 5BC A AB ==,又因为BC=6， 所以3610sin 5BC AB A ==÷=【举一反三】3. (2016怀化) 在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=45，AC=6cm ，则BC 的长度为（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 【答案】C【解析】因为在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=BC AB =45，假设BC=4a ，AB=5a ， 根据勾股定理，得到AC 2+BC 2=AB 2，即62+（4a ）2=（5a ）2，解得：a=2或a=﹣2（舍去）， 所以BC=4a=8cm4. (2016襄阳) 如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ( )A.12B. 5C. 10D. 5【答案】B【解析】如下图所示，过C 作CD ⊥AB 交于点D ，根据勾股定理易求得BC ＝2，AB ＝，所以S △ABC ＝112322CD ⨯⨯=⨯，解得：CD ，又因为AC所以，sin CDAAC =＝55. (2016白银) 如图，点A(3, t) 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α=32， 则t 的值是____________【答案】92【解析】如下图所示，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，∵点A （3，t ）在第一象限，∴AB=t ，OB=3， 又∵tan α=3AB t OB ==32，∴t=92☺ 题型三、解直角三角形的实际运用【例4】(2016岳阳) 如图，一山坡的坡度为i =A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了 米．【答案】100【解析】根据坡度的定义得到tanA= tan3BC A AC ===, 所以030A ∠=， 011t 30200100()22R ABC A BC AB m ∠=∴==⨯=V Q 在中，，【举一反三】6. (2016南宁) 如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A. 5sin36°米B. 5cos36°米C. 5tan36°米D. 10tan36°米【答案】C【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=ADBD，∴AD=BD•tan36°=5tan36°7. (2016宁波) 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）(第7题图) (第8题图)【答案】【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，∵在Rt△BAE（m），∴（m）．∴旗杆高BC为．8. (2016枣庄) 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为 米（结果精确到0.1） 【答案】2.9【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m ，再根据勾股定理可得MC2+MB2=（2MC ）2，代入数可得答案．【解答】解：由题意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°，∴DM=4m ， ∵AM=4米，AB=8米，∴MB=12米， ∵∠MBC=30°，∴BC=2MC ， ∴222(2)MC MB MC +=22122(2)MC MC += ∴则﹣4≈2.9（米）．☞【巩固提升自我】☜1. (2016广东) 如图1，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（4, 3），那么cos α的值是（ ） A.34 B. 43 C. 35 D. 45图1 图2 【答案】D 【解析】【解析】如下图所示，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，∵点A （4，3）在第一象限，∴AB=3，OB=4，根据勾股定理得到AO=5 ∴cos α=45OB AO =,2. (2016深圳) 某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图2，无人飞机从A 处水平飞行 至B 处需8秒，在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°，B 处的仰角为30°． 已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）【分析】如图，作AD ⊥BC ，BH ⊥水平线，根据题意确定出∠ABC 与∠ACB 的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由CD+BD 求出BC 的长， 即可求出BH 的长．【解答】如图，作AD ⊥BC ，BH ⊥水平线，由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB ∥CH ， ∴∠ABC=30°，∠ACB=45°， ∵AB=32m ，m ，∴BC=CD+BD=（m ，则BH=BC•sin30°=（）m ．3. (2016茂名) 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度， 先在教学楼的底端A 点处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上 的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4米． （1）求教学楼与旗杆的水平距离AD ；（结果保留根号） （2）求旗杆CD 的高度．【分析】（1）根据题意得出∠ADB=30°，进而利用锐角三角函数关系得出AD 的长；（2）利用（1）中所求，结合CD=AD•tan60°求出答案．【解答】解：（1）∵教学楼B 点处观测到旗杆底端D 的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt △ABD 中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m ，∴AD=4tan tan 30AB ADB =∠（m ），答：教学楼与旗杆的水平距离是；（2）∵在Rt △ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，m ，（m ），答：旗杆CD 的高度是12m ．4. (2016广州) 如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B, D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续 飞行30m 到达A′处，（1）求A ，B 之间的距离；（2）求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过A′作A′E⊥BC 交BC 的延长线于E ，连接A′D，于是得到A′E=AC=60，，在Rt △ABC 中，求得DC=3可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，在Rt △ABC 中，AC=60m ，∴AB=0sin 30AC =6012=120（m ）；（2）过A′作A′E⊥BC 交BC 的延长线于E ，连接A′D，则在Rt △ABC 中，AC=60m ，∠ADC=60°， ∴∴∴tan ∠AA′D=tan∠A′DC='A E DE答：从无人机A′上看目标D。