令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
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Example 3. Find the function
whose derivative is
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
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Relation of Rolle and Lagrange Theorem
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例. 设 f (x) C[ 0, π ], 且在 ( 0, π )内可导, 证明至少存
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The hypotheses of Theorem 3 are essential. If they fail, the result may not holds.
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Example 1. Show that the equation has exactly one real root.
Chapter 3 Applications of Derivatives
3.1 Extreme Values of Functions 3.2 The Mean Value Theorem and Differential
Equations 3.3 The Shape of a Graph 3.4 Graphical Solutions of Autonomous
Differential Equations 3.5 Modeling and Optimization 3.6 Linearization and Differentials 3.7 Newton’s Method
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3.2
The Mean Value Theorem and Differential Equations
sinx and whose graph passes through the point (0,2).
Solution.
f x cos x C
Whereas,
That is to say f 0 1 C 2,
thus
f x 3 cos x
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例. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
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3.2.1 Rolle Theorem 3.2.2 Lagrange Theorem 3.2.3 Differential Equations
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3.2.1
Rolle Theorem
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Let’s us graph a function which satisfied with…
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满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续; (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
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According to Theorem 1, f has both absolute maximum and minimum values on the closed interval [a,b] .
Solution. 1. It has real root
f x x3 3x 1 lim f x x 2. It has only one real root. c a,b, f c 0 Whereas,
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3.2.2
Lagrange Theorem
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在一点 ( 0, π ), 使 f ( ) f ( )cot .
提示: 由结论可知, 只需证
即
f (x )sin x x 0
设
F(x) f (x)sin x
验证 F (x ) 在 [ 0, π ] 上满足罗尔定理条件.
3 1, 5, 12(a). P244 15. P245 42, 43, 44.
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推论1 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证 在 I 上任取两点
格朗日中值公式 , 得
0
f ( ) f (b) f (a) , (a,b)
由 的任意性知,b a 在 I 上为常数 .
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例. 证明等式 证: 设
由推论4.1可知
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
ba
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Rolle Theorem
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满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
ba
Proof.
1. Continuous on the closed interval [a,b];
2. Differentiable on the interval interior (a,b); 3.
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Rolle Theorem