无理数在西方的发现
大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥 拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中 不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四 艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙 间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯 学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发 现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之 比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三 角形就是如此。
• 这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本 信条，导致了当时认识上的"危机"， 从而产生了第一次数学危机。 到 了公元前370年，这个矛盾被毕氏学 派的欧多克斯通过给比例下新定义的 方法解决了。他的处理不可通约量的 方法，出现在欧几里得《原本》第５ 卷中。
• 欧多克斯和狄德金于1872年给出的 无理数的解释与现代解释基本一致。 今天中学几何课本中对相似三角形的 处理，仍然反映出由不可通约量而带 来的某些困难和微妙之处。
• 由于并没有经历过西方的数学危机革 命的基础上 ，我国从11 世纪开始，逐渐摸索到 数值解高次方程的一般规律。
毕达哥拉斯兴师问罪，然而希伯斯事先 已经得知了消息，他抢先一步逃走了。毕 达哥拉斯学派是不公放过他的，他们在一 条海船上发现了他，把希伯斯装进了口袋 ，扔进了大海，希伯斯就这样被害死了！ ”。希伯斯虽然被害死了，但是他发现的 “新数”却还存在着，后来，人们从他的 发现中知道了除去整数和分数之外，世界 上还存还着一种“新数”。
无理数在西方的发现
大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥 拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中 不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四 艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙 间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯 学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发 现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之 比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三 角形就是如此。
• 第一次数学危机对古希腊的数学观点有 极大冲击。这表明，几何学的某些真理与 算术无关，几何量不能完全由整数及其比 来表示，反之却可以由几何量来表示出来 ，整数的权威地位开始动摇，而几何学的 身份升高了。危机也表明，直觉和经验不 一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此 希腊人开始重视演译推理，并由此建立了 几何公理体系，这不能不说是数学思想上 的一次巨大革命。
• 其数不可得而定。……故惟以面命之，为 不失耳”，这说明刘徽认识到“加不加借 算命分”都得到的不是精确值，只有用被 开方数的方根表示才是精确的，接着他在 “开方术注”中提出一种更为精确的表示 方根近似值的方法，即求微数法：“不以 面命之，加定法如前，求其微数。
• 微数无名者以为分子，其一退以十为母， 其二退以百为母。退之弥下，其分弥细， 则朱幂虽有所弃之数，不足言之”，就是 用 10 进制小数来无限逼近无理数。中算 学家没有像希腊人那样在发现无理数时出 现逻辑上的困难，又能顺利地将有理数运 算规则推广到无理数，因此把数学向前推 进的同时，并没有深究无理数与有理数实 质上的不同。
无理数的出现
背景故事
在古希腊，有一个很了不起的数学家，叫做毕 达哥拉斯，他开了一间学校，教了很多学生， 他的学校的名字叫“毕达哥拉斯学园”。别的 人也给它起了个名字，叫“毕达哥拉斯学派” ，他们认为，数是世界的法则，是主宰生死的 力量，他们就像崇拜天神一样崇拜数。毕达哥 拉斯和他的学生们在学园里研究数学，做出了 好多的数学发现，比如“毕达哥拉斯定理”就 是这么发现的。这个定理，在我们中国叫“勾 股定理”。
无理数的由来
正方形的对角线和边长的比是这种新数、给这种新数 起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是人们 已经习惯的，容易理解，就把整数和分数合称“有理 数”，而把希伯斯发现的新数起名叫“无理数”。
无理数在西方的发现
大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥 拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中 不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四 艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙 间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯 学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发 现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之 比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三 角形就是如此。
无理数在西方的发现
大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥 拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中 不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四 艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙 间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯 学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发 现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之 比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三 角形就是如此。
无理数在中国的发现
• 中国古代在处理开方问题时，不可避免地 碰到了无理根数。中国早期的开方术见于 刘徽的《九章算术》少广、勾股两章，起 源于长度的测度。已知面积求正方形边长 ；已知体积求立方体棱长；已知圆面积求 圆的直径；已知球体积求球的直径或直角 三角形勾、股、弦互求。《九章算术》“ 少广”章的开(平)方术有“若开之不尽者 ，为不可开，当以面命之”，“令不加借 算而命分，则常微少；其加借算而命分， 则又微多。
• 毕达哥拉斯认为，世界上只存着整数和分数， 除此之外，就再也没有什么别的数了，可是， 他有一个学生，叫希伯斯，就发现了这样的一 种数，比如，一个边长是1的正方形，从一个角 到对着它的一个角之间的线段长度是多少呢？ 毕达哥拉斯知道了学生的这个发现，大惊失 色，因为如果承认了这个发现，那他们学派的 基础就没有了，毕达哥拉斯这位伟大的数学家 ，在这上面的表现却很不光彩；他禁止希伯斯 把这个发现传出去，否则就要用学园的戒律来 处置他——活埋。