二、积分因子法
若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
1) d x d y d ( x y )
2 2 ( x y )) 3) xd x yd y d ( 1 2
u e
即
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
两端积分得
P( x) d x u Q( x) e dx C
P( x) d x
P( x) d x Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y e P( x) d x P( x) d x P( x) d x e dx y Ce 即 Q( x) e
积分后再用
代替 u, 便得原方程的通解.
y 解法: 令 u , x
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
3 一阶线性微分方程
1. 解齐次方程
分离变量
dy P( x) y 0 dx
dy f ( x)dx, 这样变量就“分离”开了. y) f ( x)dx C
即得方程的通解.
2 齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
5 全微分方程
① 为全微分方程 求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y)

方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
思考: 如何解方程
齐次方程通解
非齐次方程特解
4 伯努利(Bernoulli)方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
dz (1 n) P( x) z (1 n) Q( x) dx
dy 1 n y P( x) y Q( x) dx dz 1n n d y , 代入上式得 令z y , 则 (1 n) y dx dx
两边积分得
故通解为
ln y P( x)d x ln C
y Ce
P ( x )d x
注：①所谓线性，即是 方程中未知函数及其导 函数均为一次函数
②本节的“齐次方程” 与上节的“齐次方程” 机动 是两个不同的概念 目录 上页 下页 返回 结束
dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx P( x) d x 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,则
常用微分倒推公式:
2) xd y yd x d ( x y )
x y yd x xd y yd x xd y 5) d( ) 4) d( ) 2 2 y x y x yd x xd y x 积分因子不一定唯一 . 6) d ( ln ) xy y 例如, 对 yd x xd y 0 x yd x xd y arctan 7) d ( ) 可取 2 2 y x y
n
(一阶线性方程)
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
若存在 u ( x, y ) 使 d u ( x, y) P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 则称 P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 0 ①
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
8) xd x yd y x 2 y 2 d(
x2 y2 )
一阶微分方程的初等解法
1 可分离变量的微分方程
2 齐次方程
3 一阶线性微分方程 4 伯努利(Bernoulli)方程 5 全微分方程
1 可分离变量的微分方程
dy f ( x) ( y ) 的方程称为变量分离方程. 形如 dx
这里f ( x), ( y)分别是x, y的连续函数 . 解法: 1 分离变量 当 ( y) 0时, 将方程写成