X1 = J 1 X 定义选择矩阵 J1 = [ I m−1 , 0 ] 和 J 2 = [ 0, I m−1 ] ，则 X2 = J 2X X1 第一行 X= = = AS + W 最后一行 X 2
Vandermonde A= 矩阵
第一行 = 最后一行 A 2 A1
由 Φ = diag e jω1 ,L , e
(
jω p
)知
当 λ = e jω , i = 1,L , p 时，矩阵 C xx − λ C xy 才是秩亏缺的
i
即矩阵束{C xx , C xy } = {APA H , APΦ H A H } 的广义特征值就 是 e jω , L , e jω
1 p
H I − U s U sH = U n U n
APA H + σ 2 U s U sH = U s Σ s U sH
两边同乘 U s
APA H U s = U s ( Σ s − σ 2 I )
U s = APA U s ( Σ s − σ I ) = AT
H 2 −1
T非奇异
U1 第一行 Us = = 最后一行 U 2 A1T 第一行 U s = AT = = 最后一行 A 2 T
2. TLS-ESPRIT方法 方法 以上 {R 1 , R 2 } 广义特征值分解 ( m × m维 )
Σ1 H R 1 = UΣV = [ U1 , U 2 ] 0
H U1 R 1V1 = Σ1
—— LS-ESPRIT
பைடு நூலகம்
0 V1H 0 V2H
H Σ1 − λ U1 R 2 V1
广义Rayleigh商
u H Au 定义： R (u) = H u Bu
( Rmin , u)是矩阵对( A, B)的最小广义特征值与最小 广义特征向量，而(Rmax ,u)则是最大广义特征对。 c : 模式类型个数， Q : 特征个数 si ,k : 用第i类信号第k组数据抽取的Q ×1样本特征向量 m i : 第i类信号样本特征向量的均值向量 m : c类目标特征向量总的均值向量
1 jω1 e A= M j ( m −1)ω 1 e
jω L e p M M j ( m −1)ω p L e L 1
e jωi Φ=
O jω p e
旋转矩阵
R xx = APA H + σ 2 I
P = E {s ( n )s H ( n )}
• 类内散布矩阵(within class scatter matrix)
1 1 sw = ∑ c i =1 N i
c
∑ (si,k − mi )(si,k − mi ) k =1
Ni T
(Q × Q维)
• 类间散布矩阵(between class scatter matrix)
H rank ( R 1 − λ R 2 ) = rank ( U1 ( R 1 − λ R 2 ) V1 )
{R1 , R 2 } 的GEV
TLS-ESPRIT
H Σ1 − λ U1 R 2 V1 的GEV
(IEEE T-SP, 1995)
3. ESPRIT方法的另一种形式 方法的另一种形式
x (t ) = [ x1 (t ),L , xm (t ) ]
本章总结
ARMA谱估计 (差分模型) 等价关系 最大熵方法 (信息论 ) 功率谱估计 Pisarenko谐波分解(特征值分解) 现代谱估计 扩展 Prony方法 (复指数模型拟合 ) 波束形成器 Capon空间谱 空间谱估计 → MUSIC 子空间方法 → ESPRIT 广义特征值分解
U 2 = A 2 T = A1ΦT
U1T −1ΦT = A1TT −1ΦT = A1ΦT = U 2
U1 = A1T U 2 = A 2T
Ψ 定义： 定义： = T −1ΦT ，则 U1Ψ = U 2
旋转矩阵的相似变换
相似变换 若B = S AS, 则 det(B − zI ) = det(S −1 AS − zS −1S) = det(S −1 ( A − zI )S) =det(S −1 ) det( A − zI ) det(S) =det(S) det(S) det( A − zI ) = det( A − zI ) 即相似矩阵A和B具有相同的特征值，但特征向量一般 不同。 特别地，若U为酉矩阵，B为对角矩阵，则 B = U −1 AU是矩阵A的特征值分解。
旋转矩阵
A 2 = A1Φ
X1 = A1S X 2 = A 2 S = A1Φ S
不考虑噪声时
R xx
Σs H 2 = APA + σ I = [ U s , U n ] 0
0 U sH 2 H σ I U n
U sH H = U s Σ s , σ 2 U n H = U s Σ s U sH + σ 2 U n U n U n
T
子阵列1: 子阵列 子阵列2: 子阵列
x1 (t ) = [ x1 (t ),L , xm −1 (t ) ] x 2 (t ) = [ x2 (t ),L , xm (t ) ]
T
T
( m − 1) × ( m − 1) ( m − 1) × ( m − 1)
x (t ) = As (t ) + w (t ) x1 (1) L 令 X = [ x (1),L , x ( N ) ] = M xm (1) L x1 (1) L X1 = M xm −1 (1) L x2 (1) L X2 = M xm (1) L x1 ( N ) M xm −1 ( N ) x2 ( N ) M xm ( N ) x1 ( N ) M xm ( N )
⑶矩阵对(束) 矩阵对 束
{C
xx
, C xy }
matrix pair, matrix pencil
{A, B} 的广义特征值分解的定义 的广义特征值分解的定义:
的广义特征值， 若 Au = λ Bu，则称 λ 为 {A, B}的广义特征值，u 称为广义特征向量， 称为广义特征对。 称为广义特征向量，( λ , u ) 称为广义特征对。 广义特征值的定义： 广义特征值的定义： 的广义特征值， 非奇异; 若 λ 不是 {A, B}的广义特征值，则 A − λ B 非奇异
1 c (m i − m)(mi − m)T sb = ∑ c i =1
UT S b U 准则函数： max R = max T U S wU
(Q × Q维)
u Sbui ⇒ max ∏ i =1 u S wu i
Q
T i T i
⇒ ui是矩阵对(Sb , S w )的第i个最大广义特征值对应的广 义特征向量。 i = 1,L , c − 1, 则矩阵U c −1 =[u1 ,L , u c −1 ] 令 的列构成c类信号的最优类鉴别子空间。 ⇒ y i , k = UT−1si ,k 描述样本特征向量si ,k 在最优类鉴别子空间 c 的投影。若不同类型的特征向量投影分别用 o ，，等符号 ∗ × 画出，则投影图直观地给出了不同特征的类鉴别性能。
R xy = E {x ( n ) y H ( n )} = APΦ H A H + σ 2 Z
0 0 1 0 Z= O O 0 1 0 m× m
R xx特征值分解，得到 σ 2 特征值分解， ⑴
2 H ⑵ C xx = R xx − σ I = APA
C xy = R xy − σ 2 Z = APΦ H A H
3.6 ESPRIT方法 ESPRIT方法
Estimating Signal Parameters via Rational Invariant Technique
1. 基本 基本ESPRIT方法 方法
x ( n ) = As ( n ) + w ( n ) y ( n ) = x ( n + 1) = AΦs ( n ) + w ( n + 1)
−1 −1
基本ESPRIT算法 ： 算法2： 基本 算法
的特征值分解， ⑴ R xx 的特征值分解，得到 U = [ U s , U n ] ⑵
U1 第一行 Us = = 最后一行 U 2
⑶ 因为 U1Ψ = U 2 ，所以 Ψ 是{U1 , U 2 } 的广义特征值
基本ESPRIT算法 ： 算法1： 基本 算法
⑴ 构造 R xx 和 R xy
R xx 的特征值分解，得到 σ 2 的特征值分解， ⑵ 计算
2 H 2 H H ⑶ 计算 C xx = R xx − σ I = APA 和 C xy = R xy − σ Z = APΦ A
的广义特征值分解， ⑷ 计算矩阵束 {C xx , C xy } 的广义特征值分解，所有在单位 圆上的广义特征值给出空间参数 ω1 ,L , ω p 的估计
习 题
• 题3.20 (计算机仿真实验)
A 的广义特征值时， 奇异(秩亏缺 秩亏缺) 当且仅当 λ 是 {A, B}的广义特征值时， − λ B 奇异 秩亏缺
满秩 广义特征值是广义特征多项式 | A − λ B |= 0 的根
C xx , C xy } = {APA H , APΦ H A H } {
⇒ C xx − λ C xy = APA H − λ APΦ H A H = AP ( I − λ Φ H ) A H ⇒ rank ( C xx − λ C xy ) = rank ( I − λ Φ H )