2013-20141 数学物理方程（A ）数理学院 信计101-2、应数（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一．填空题（每小题3分，共15分）1．已知非齐次波动方程22222(,)(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)(,0)0(0)u ua f x t t x l t x u u t l t t xx u u x x x l t ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩，若);,(τt x W 是初边值问题22222(,0)(0,)(,)0()(,)0,(,)(,)(0)W W a t x l t x W W t l t t x x W W x x f x x l t τττττ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的解（其中τ为参数），则由齐次化原理可得=),(t x u 就是原问题的解；2．已知1()f x 与2()f x 的傅里叶变换存在，则12()F f f *= ；3．偏微分方程22222222u u u ut x y z ∂∂∂∂=++∂∂∂∂的特征方程为 ；4．当 时，方程22220u uy x y∂∂-=∂∂的类型为双曲型；5．作未知函数的线性变换 可将方程组u u v x t x xv u v x t x x ∂∂∂⎧=+⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂⎩化为对角型方程组。

二．单项选择题：（每小题3分，共15分）1．对于一维波动方程下列结论正确的是：（ ）)A 左端点必须是第一类边界条件； )B 两个端点必须是同类边界条件； )C 第三类非齐次边界条件表示弹性支撑端； )D 上述说法都不对。

课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:2．将定解问题2222212(,)(0,0)(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0u u a f x t t x l t x uu t t l t t t x x u u x x x x x l t μμϕψ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的边界条件齐次化，令),(),(),(t x W t x V t x u +=，则（ ）)A x lt t t t x W )()()(),(121μμμ-+=； )B )()(),(12t x t t x W μμ+=；)C )())((),(21t l x t t x W μμ+-=； )D l xt l x t t t x W 2)(2))()((),(1212μμμ+-=。

3．柯西问题2222220(,0)cos ,(,0)sin y u u ux x y y u x x u x x⎧∂∂∂+-=⎪∂∂∂∂⎨⎪==⎩的特征方程为：（ ） )A 22()2()0dx dxdy dy +-=； )B 22()2()0dx dxdy dy --=； )C 22()2()0dy dxdy dx +-=； )D 22()2()0dy dxdy dx --=。

4．关于贝塞尔函数的递推公式，下列结论正确的是：（ ）)A 1[()]()n n n n d x J x x J x dx --+=-； )B 1[()]()nn n n d x J x x J x dx --+=； )C 1[()]()n n n n d x J x x J x dx ---=-； )D 1[()]()n n n n dx J x x J x dx---=。

5．已知5()n nn x C P x ∞==∑，其中)(x P n 为n 次勒让德多项式，则2C=（ ）)A 1； )B 52； )C 0； )D 52。

三．试解下列各题（每小题10分，共50分）1．试用分离变量法写出下列定解问题的特征值问题（10分）222(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)()(0)u u a t x t x u ut t t x x u x f x x πππ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪=<<⎪⎪⎩2．求下列柯西问题的解（10分）222222230,,0(,0)3,(,0)0,u u ux y x x y y u u x x x x y ⎧∂∂∂+-=-∞<<∞>⎪∂∂∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<∞⎪∂⎩3．试求一个函数的代换将下列方程和边界条件同时齐次化（10分）22222000,0,00,,0(),()x x l t t u ua A x l t t x u u B t u u x x t ϕψ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪∂⎪==∂⎪⎩4．证明：ρπ1ln 21=u 是二维拉普拉斯方程的解（称为基本解），其中2020)()(y y x x -+-=ρ，并求出圆域内的格林函数（10分）5．已知0y >，化方程22220u uy x y∂∂+=∂∂为标准形式（10分）四．求解下列方程组带初始条件的柯西问题（10分）0000sin cos t t u t x u t x u x x ρρρ==∂∂⎧+=⎪∂∂⎪∂∂⎪+=⎨∂∂⎪=⎪⎪=⎩五．列出下列波动方程混合问题的显式差分格式（取2.0,2.0=∆=∆t x ）（10分）22220100,01,00(),()x x t t u ux t t x u u u u x x t ϕψ====⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2013-20141 数学物理方程（B ）数理学院 信计101-2、应数（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一．填空题（每小题3分，共15分）1. 已知波动方程的初值问题（柯西问题）22222(,)(,0)(,0)0u u a f x t t x u u x x t ⎧∂∂-=⎪⎪∂∂⎨∂⎪==⎪∂⎩，若);,(τt x W 是初值问题222220(,)(,)0,(,)(,)()W Wa t x t x W W x x f x t t τττττ⎧∂∂-=>-∞<<∞⎪⎪∂∂⎨∂⎪==>⎪∂⎩的解（其中τ为参数），则=),(t x u 就是原问题的解。

2. 如果()f x 及()f x '都是可以进行傅里叶变换的，而且当||x →∞时，()0f x →，则成立()f x '的傅里叶变换[]()F f x '= 。

3. 偏微分方程22222340u u u x x y y∂∂∂--=∂∂∂∂的特征方程为 ；特征方向为 。

4. 当0,0≠≠y x 时，方程22222220u u x y x y∂∂+=∂∂类型为 。

5. 作未知函数的线性变换 可将方程组(1sin )200uu v x x t x xv u t ∂∂∂⎧++++=⎪⎪∂∂∂⎨∂⎪+=⎪∂⎩化为对角型方程组。

二．单项选择题：（每小题3分，共15分） 1．对于一维波动方程下列结论正确的是：（ ）)A 左端点必须是第二类边界条件； )B 两个端点必须是同类边界条件； )C 第三类齐次边界条件表示弹性支撑端； )D 上述说法都不对。

课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:2．将定解问题2222212(,)(0,0)(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0u u a f x t t x l t x ut t u l t t t x u u x x x x x l t μμϕψ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂⎪==>⎨∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的边界条件齐次化，令),(),(),(t x W t x V t x u +=，则（ ）)A x lt t t t x W )()()(),(121μμμ-+=； )B )()(),(12t x t t x W μμ+=；)C )())((),(21t l x t t x W μμ+-=； )D l xt l x t t t x W 2)(2))()((),(1212μμμ+-=。

3．柯西问题2222220(,0)cos ,(,0)sin y u u ux x y y u x x u x x⎧∂∂∂--=⎪∂∂∂∂⎨⎪==⎩的特征方程为：（ ） )A 22()2()0dx dxdy dy +-=； )B 22()2()0dx dxdy dy --=； )C 22()2()0dy dxdy dx +-=； )D 22()2()0dy dxdy dx --=。

4．关于贝塞尔函数的递推公式，下列结论正确的是：（ ）)A 1[()]()n n n n d x J x x J x dx +=-； )B 1[()]()nn n n d x J x x J x dx +=； )C 1[()]()n n n n d x J x x J x dx -=-； )D 1[()]()n n n n dx J x x J x dx-=。

5．已知3()n nn x C P x ∞==∑，其中)(x P n 为n 次勒让德多项式，则2C=（ ）)A 0； )B 52； )C 1； )D 52。

三．试解下列各题（每小题10分，共50分）1.试用分离变量法写出下列定解问题的特征值问题（10分）22222(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)(),(,0)()(0)u u a t x l t x u ut l t t x x u u x f x x g x x l t ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩2.求下列柯西问题的解（10分）2222220043030y y u u u x x y y u x u y ==⎧∂∂∂++=⎪∂∂∂∂⎪⎪=⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩3.试求一个函数的代换将下列方程和边界条件同时齐次化（10分）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂=+∂∂=∂∂====)(),(1,0000222222x t u x u x u u x x u a t u t t l x x ψϕ 4.验证ρπ1ln 21=u 是二维拉普拉斯方程的解（称为基本解），其中2020)()(y y x x -+-=ρ，并求出上半平面0y ≥的格林函数（10分）5.0x >已知，化方程22220u ux x y∂∂-=∂∂为标准形式（10分）四．求一阶方程带初始条件的柯西问题的解（10分）0()t u u u t x u x ϕ=∂∂⎧+=⎪∂∂⎨⎪=⎩五．列出下列热传导方程混合问题的差分格式（取0.2,0.02x t ∆=∆=）（10分）2201000sin x x t u ut x u u u x π===⎧∂∂-=⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩。