一. (10分)填空题1.初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===).(),(0,,002x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ 2.为使定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======0,00002t lx x x xxt u u u u u a u （0u 为常数）中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w xu 03.方程0=xyu 的通解为)()(),(y G x F y x u +=4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 61),(223-++=y x y x y x u二. (10分)判断方程02=+yy xx u y u的类型，并化成标准形式．解：因为)0(02≠<-=∆y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。

……2分它的特征方程是 022=+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy ……5分即iy dxdy±=特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-作变换：⎩⎨⎧==x yηξln ……7分求偏导数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-====)(112ξξξξηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式ξηηξξu u u =+ (10)分三. (10分)求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020解：x x x x a cos )(,)(,22===ψϕ利用达朗贝尔公式⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( ……5分 得)]2sin()2[sin(414cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u t x tx --+-+=+-++=⎰+-ξξt x t x 2sin cos 21422++= ……10分四. (15分)用分离变量法解定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=====.0,0|,00,0,0002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 解 先求满足方程和边界条件的解.设解为)()(),(t T x X t x u = (2)分代入方程得)()()()(2t T x X a t T x X ''=''除以)()(2t T x X a 有λ-=''='')()()()(2t T a t T x X x X 得到两个常微分方程0)()(=+''x X x X λ ……3分0)()(2=+''t T a t T λ ……4分由边界条件得0)()(,0)()0(='='t T l X t T X由0)(≠t T ，得0)(,0)0(='='l X X (5)分于是固有值问题为⎩⎨⎧='='=+''0)(,0)0(,0)()(l X X x x X λ解之得一系列固有值,2,1,0,)(2===n ln n πλλ 相应的固有函数为x ln x X n πcos)(= ……8分 再解方程 0)()()(2=+''t T la n t T π，通解为t lan D t l a n C t T n n n ππsin cos)(+= ……10分利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解∑∞=+=1cos )sin cos(),(n n n x ln t l a n D t l a n C t x u πππ ……12分由初始条件0|0==t t u ，得0=n D ， ……13分由得,0x u t == ∑∞==1cos n n x l n C x π其中⎰==l lxdx l C 0021⎰=--==l n n n n l dx l n x l C 02,2,1],1)1[()(2cos 1 ππ ……14分将n n D C ,代入),(t x u 得定解问题解∑∞=--+=122cos cos 1)1(22),(n n x l n t l a n n l l t x u πππ……15分五. (15分)解非齐次方程的混合问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≥==><<+====πππx u t u u t x x u u t x x xx t 0.00,0,00,0,00 解 先确定固有函数)(x X n .令)()(),(t T x X t x u =代入相应的齐次方程和齐次边界条件得 固有值问题⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0)()(πλX X x X x X固有函数为 ,2,1,sin )(==n nx x X n ……5分设解为∑∞==1sin )(),(n n nx t T t x u （1） (7)分其中)(t T n 是待定函数.显然),(t x u 满足边界条件.为确定函数)(t T n ,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数 ∑∞==1sin )(n n nxt f x （2） ……8分其中nnxdx x t f n n 2)1(sin 2)(10+-=⋅=⎰ππ (9)分再将（1）,(2)代入方程得∑∞=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+'1120sin 2)1()()(n n n n nx n t T n t T比较系数,有,2,1,2)1()()(12=-=+'+n nt T n t T n n n ……10分由初始条件得0sin )0(1=∑∞=n n nx T所以0)0(=n T ……11分解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=+''+,0)0(2)1()()(12nn n n T n t T n t T得)1(2)1()(231t n n n e n t T -+--=……14分将)(t T n 代入级数(1)，得定解问题的解.nx e n t x u n tn n sin )1()1(2),(1312∑∞=-+--= ……15分六. (15分)用积分变换法解无界杆热传导问题⎪⎩⎪⎨⎧=>+∞<<∞-==).(0,,02x u t x u a u t xx t ϕ 本题所用公式：ta x ta eta eF 22224121][---=πλ解 对x 作傅氏变换，记=),(~t uλ F )],([t x u=)(~λϕF )]([x ϕ ……2分对方程和初始条件关于x 取傅氏变换，有⎪⎩⎪⎨⎧=-==)(~~~~022λϕλt u u a dtu d ……7分解常微分方程的初值问题，得t a e t u22)(~),(~λλϕλ-= ……10分再对),(~t uλ进行傅氏逆变换得=),(t x u F])(~[221t a e λλϕ-- ……13分ta x eta x 22421)(-*=πϕ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et ata x 224)()(21 ……15分七. (15分)用静电源像法求解上半平面0>y 的狄利克雷问题⎪⎩⎪⎨⎧=>=+=).(|0,00x f u y u u y yy xx解 先求格林函数，由电学知在上半平面0>y 的点),(000y x M 处置单位负电荷，在0M 关于x 轴的对称点),(001y x M -处置单位正电荷，则它与0M 产生的电势在x 轴上 互相抵消，因此上半平面0>y 的格林函数为)1ln 1(ln 21),(100MM MM r r M M G -=π[][]}{20202020)()(ln )()ln(41y y x x y y x x ++---+--=π……7分下面求==∂∂-=∂∂y y yG nG0)()()(2)()()(2412020020200=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+--+--=y y y x x y y y y x x y y π2200)(1y x x y +-⋅-=π ……10分 所以dx y x x x f y dl n Guy x u ⎰⎰+∞∞-Γ+-=∂∂-=220000)(1)(),(π……15分八. (10分)证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件f ．证明：假设有两个调和函数),,(1z y x u 和),,(2z y x u ，它们在有界区域Ω的边界Γ上完全相同，则它们的差21u u u -=在Ω中也满足方程0=∆u ，且0|=Γu 。

由极值原理的推论知，函数u 在区域Ω上最大值和最小值均为零，即0≡u 。

因此21u u ≡，即狄利克雷内问题的解是唯一的。

……5分其次，设在区域Ω的边界Γ上给定了函数f 和*f ，而且在Γ上处处成立ε≤-*f f ，这里ε是一个给定的正数。

设*u u ,分别是方程0=∆u 在区域Ω上以f 和*f 为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数*Γ*-=-f f u u |)(。

由极值原理的推论可得，在Ω上各点有ε≤-=-*Γ*Γ⋃Ω)(max )(max f f u u ，ε-≥-=-*Γ*Γ⋃Ω)(min )(min f f u u .因此，在Ω上各点有ε≤-≤-*Γ*f f u u max ，即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。

……10分。