x (0,)
u g(x) x2 1
y
f (u) (1)u 2
思考：内外函数的单调性对复合函数的单调性的影响？
u g(x)
u g(x) x2 1
y
f (u)
2u
u g(x) x2 1
y
f (u) (1)u 2
x (,0) x (0,) x (,0) x (0,)
u x2 1
例1.1)求函数y 2x21的单调区间.
y
2u
x -3 -2 -1 0 1 2
u 10 5 2 1 2 5
y 1024 32 4 2 4 32
u g(x) x2 1
y
f (u)
2u
x (,0) u g(x)
x (0,)
y f (u)
y f [g( x)]
y f (u)
y f [g( x)]
规律： 内外函数同增减，复合函数单增；
内外函数异增减，复合函数单减；
同增异减
§1.3.1单调性与最大复(小)值合(f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
定义域由 a g x b 解出。
2、若已知 f g x的定义域为[a,b],则函数 f x 的定义域
即为 当xa,b时，函数gx的值域。
§1.3.1单调性与最大(小)值(三)
复合函数： 令 u=g(x) 则 y=f(u)
y=f[g(x)]
y=f[g(x)] 内函数 外函数
原函数
以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
拓展1
:
2)求函数y
(
1
1
)2
x2
x1的单调区间.
2
拓展1 : 3)讨论函数y 2ax 5(a 0)的单调性.
例2、求函数y 4x 2x1 的 定 义 域 ， 值 域 ， 单 调区 间 。
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2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
§七1.3.、1单复调性合与函最大数(小单)值调(三性)
例1 如果g x是[m,n]上的减函数，且
a g x b，f x是[a,b]上的增函数，求证 f g x
在[m,n]上也是减函数。
y f (x)
u g(x)
y f [g(x)]
增函数
增函数
增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
注： §1.3.1单调性与最大(小)值(三)
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集
证：x1, x2 m, n,且x1 x2, Q g(x)是m, n上减函数，且a g x b
a g(x2 ) g(x1) b.
又Q f x是a,b上的增函数,
f g x2 f g x1 .
f g x 在m, n上是减函数.
拓展1 : 1)判断函数y 32x8的单调性.
指数函数的性质应用4
温故知新
复合函数如何求函数的定义域和值域？ 求函数的定义域方法：列不等式组
求复合函数的值域方法：换元
§1.3.1单调性与最大(小)值(三)
复合函数: f g x
判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。
定义域：
1、若已知 f x 的定义域为[a,b],则复合函数 f g x 的
3 10 1024
例1.2)求函数y （1）x21的单调区间. 2
u x2 1
y
(
1)u 2
x -3 -2 -1 0 1 2
u 10 5 2 1 2 5
Y
11
1 1 11
1024 32 4 2 4 32
3 10
1 1024
x (,0) u g(x) y f (u) y f [g( x)]