函数复习内容：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用 一．常见函数（基本初等函数）： 1．)(为常数C C y = 2．)0(≠+=k b kx y 3．)0(2≠++=a c bx ax y 4．xy 1= 5．幂函数：)(Q a x y a ∈=（包括前四个函数） 6．指数函数：)10(≠>=a a a y x 且 7．对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且8．三角函数：x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc =由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。

如：d cx bx ax y +++=23，x x y 2log 1sin +=，xxy 513+=，试着分析以上函数的构成。

二．定义域：1．“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。

2．求定义域：例1求下列函数定义域：（1）23()lg(31)1x f x x x=++- （2）)25(log sin )(221x x x f -+=例2设2()lg 2x f x x +=-，则2()()2x f f x+的定义域为__________变式练习：24)2(x x f -=-，求)(x f 的定义域。

三．值域：1．①432+=x x y ②11y 22+-=x x2． ①1+=x x y ②11+-=x x y③]5,1(,14522∈-+-=x x x x y ④1sin 10sin 7sin 2+++=x x x y3． ①2123y x x =++； ②22422--=x x x y4． ①12-+-=x x y ； ②12y x x =--5． ①)3)(cos 3(sin ++=x x y②已知直角三角形的三边之和为2，求此三角形面积S 的最大值。

③1cos 2cos --=x x y ④2sin 1cos --=x x y6．函数23x x 21)x (f 2+-=的定义域和值域都是]b ,1[(b>1),求b 的值。

练习：已知二次函数bx ax x f +=2)( 满足0)2(=f 且方程x x f =)(有等根。

（1）求)(x f 的解析式；（2）问是否存在实数n m ,)(n m <使)(x f 的定义域为],[n m ，值域为]2,2[n m 。

如存在，求出n m ,的值，若不存在说明理由。

答案：(1)x x x f +-=221)(，（2）m=-2,n=07．已知函数12)(22+++=x cbx x x f （b<0）的值域为[1，3]，求实数b ，c 的值。

8．（07浙江理）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）CA ．(][)11--+ ∞，，∞B ．(][)10--+ ∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞9．已知 3()2log f x x =+1(9)81x ≤≤，求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值。

小结：函数值域的计算能力要求高、考查频率高，应该分类归纳，各个击破。

难度的的变化会随着参数的引入而改变如T6、T7。

四．单调性：1．单调性的证明： （1）定义法：例 判断函数)()(3R x x x f ∈-=的单调性，并用定义证明。

练习：已知函数)05(251)(2≤≤-+-=x ax x f ，点)4,2(--在)(x f 的反函数图像上。

（1）求)(x f 的反函数)(1x f-；（2）证明)(1x f -在定义域内是减函数。

答案：（1）]1,4[,224)(21-∈-+-=-x x x x f2．单调性的简单应用：例 （1）函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________（2）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则a 的取值范围是_________练习：若函数)3(log )(2+-=kx x x f k 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,k 上是减函数，则实数k 的取值范围是____________________ 高考真题：已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73 （D ）1[,1)7解：依题意，有0<a <1且3a －1<0，解得0<a <13，又当x <1时，（3a －1）x ＋4a >7a －1，当x >1时，log a x <0，所以7a －1≥0解得x ≥17故选C例 已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2()()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）DA ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0(例 设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下述命题：①)(x f 有最小值；②当0=a 时，)(x f 的值域为R ；③当0>a 时，)(x f 在区间),2[+∞上有反函数；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a 则其中正确的命题是_____________（要求：把正确命题的序号都填上）例 函数)(x f 对任意的R n m ∈,，都有1)()()(-+=+n f m f n m f ，并且当0>x 时，1)(>x f ， ⑴求证：)(x f 在R 上是增函数；⑵若4)3(=f ，解不等式2)5(2<-+a a f 五．函数的奇偶性：常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数奇偶性满足：奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

例 设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数 【解析】A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，即函数()()()F x f x f x =-为偶函数，B 中()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定，即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定，C 中()()()F x f x f x =--，()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数()()()F x f x f x =--为奇函数，D 中()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案D 。

例 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则 当),0(∞+∈x 时，=)(x f .解：当x ∈(0,+∞) 时，有-x ∈(-∞,0)，注意到函数f(x) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x 4 ．从而应填-x-x 4．例 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；解析：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知11211()22221x x xf x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数。

又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-练习：已知函数1().21xf x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =________。

解析：函数1().21xf x a =-+若()f x 为奇函数，则(0)0f =，即01021a -=+，a =21.例 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyx f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数；例 若奇函数))((R x x f ∈满足1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f _______六．函数的周期性： （一）要点：1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。

说明：nT 也是)(x f 的周期（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期2．若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和b x =)(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(2a b -是它的一个周期（推论）若定义在R 上的偶函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期3． 若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(2a b -是它的一个周期（推论）若定义在R 上的奇函数)(x f 的图象关于点)0,(a )0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期4．若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(4a b -是它的一个周期（推论）若定义在R 上的奇函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 4是它的一个周期5．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 是周期函数，2a 是它的一个周期 （二）例题讲解：例1 函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f = _______________。