全国各地中考数学解答题压轴题解析22011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（2）1．（湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。

当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。

（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C，∵A(0,2)，△AOB为等边三角形，∴AB=OB=2，∠BAO=60°，∴BC=3，OC=AC=1。

即B（ 3 1，）。

（2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB，在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。

∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。

∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。

（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，∴AO与BQ不平行。

①当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方， 此时，若AB∥OQ ，四边形AOQB 即是梯形， 当AB∥OQ 时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。

又OB=OA=2，可求得BQ=3。

由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=3，∴此时P 的坐标为（3 0-，）。

②当点P 在x 轴正半轴上时，点Q 在点B 的上方， 此时，若AQ∥OB ，四边形AOQB 即是梯形， 当AQ∥OB 时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。

又AB= 2，可求得BQ=23，由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=23，∴此时P 的坐标为（23 0，）。

综上所述，P 的坐标为（3 0-，）或（23 0，）。

【考点】等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定。

【分析】（1）根据题意作辅助线过点B 作BC⊥y 轴于点C ，根据等边三角形的性质即可求出点B 的坐标。

（2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB ，得出△APO≌△AQB 总成立，得出当点P 在x 轴上运动（P 不与Q 重合）时，∠ABQ 为定值90°。

（3）根据点P 在x 的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。

2.（湖南永州10分）探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ． 感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD ，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵∠EAF=45° ∴∠2＋∠3=∠BAD －∠EAF=90°－45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=45°．即∠GAF=∠_________． 又AG=AE ，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF ，故DE ＋BF=EF ． ⑵方法迁移：如图②，将Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=21∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满足∠EAF=21∠DAB,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）． 【答案】解：（1）EAF 、△EAF 、GF 。

（2）DE ＋BF=EF 。

证明如下：假设∠BAD 的度数为m ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转0m 得到△ABG ，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°，∴点G，B，F在同一条直线上。

∵∠EAF=12m︒，∴∠2+∠3=∠BAD－∠EAF，即1122m m m︒-︒=︒。

∵∠1=∠2，∴∠1＋∠3=12m︒，即∠GAF=∠EAF。

又∵AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌△EAF（SAS）。

∴GF=EF。

又∵GF=BG＋BF=DE+BF，∴DE＋BF=EF。

（3）当∠B与∠D互补时，可使得DE＋BF=EF。

【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换（折叠问题），等量代换。

【分析】（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案。

（2）利用旋转的性质，由已知得出∠GAF=∠FAE，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案。

（3）根据角之间关系，只要满足∠B＋∠D=180°时，就可以得出三角形全等，即可得出答案：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转0m得到△ABG后，此时AB与AD重合，由旋转可得：∠ABG=∠D，∵∠ABF＋∠D=180°，∴∠ABG＋∠ABF=180°，∴点G ，B ，F 在同一条直线上。

∵∠EAF=12m ︒, ∴∠DAE ＋∠BAF=∠BAD －∠EAF ，即1122m m m ︒-︒=︒。

∵∠BAG =∠DAE ∴∠BAG +∠BAF =12m ︒，即∠GAF=∠EAF 。

又∵AG=AE ，AF=AF ，∴△GAF≌△EAF （SAS ）。

∴GF=EF 。

又∵GF=BG ＋BF=DE ＋BF ， ∴DE ＋BF=EF 。

3.（湖南常德10分）如图，已知抛物线过点A （0，6），B （2，0），C(7，52)。

（1）求抛物线的解析式；（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE=∠AFE;（3）在y 轴上是否存在这样/的点P ，使△AFP 与△FDC 相似，若有，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若没有，请说明理由。

【答案】解：（1）设抛物线解析式为2y ax bx c =++，将A 、B 、C 三点坐标代入，得642054972c a b c a b c ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩，解得1246a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩。

∴抛物线解析式为21462y x x=-+。

（2）证明：设直线AC的解析式为y kx b=+，将A、C两点坐标代入，得6572bk b=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得126kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩。

∴直线AC的解析式为162y x=-+。

∵()2211464222y x x x=-+=--，∴D（4，﹣2），E（4，4）。

∵F与E关于D对称，∴F（4，﹣8）。

则直线AF的解析式为762y x=-+，CF的解析式为7222y x=-。

∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（127，0），（447，0）。

∵4﹣127=447﹣4，∴两个交点关于抛物线对称轴x=4对称。

∴∠CFE=∠AFE。

（3）解：存在．设P（0，d），则由点P在点A下方，得AP=6﹣d ，=FD=－2－（－8）=6，=。

当△AFP∽△FDC时，AP AFFCFD=，即6=﹣，解得d=412-；当△AFP∽△FCD时，AP AFFD FC=，即6d6=﹣，解得d=﹣2。

∴P 点坐标为（0，412-）或（0，﹣2）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）设抛物线解析式/为2y ax bx c =++，将A 、B 、C 三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式。

（2）求直线AC 的解析式，确定E 点坐标，根据对称性求F 点坐标，分别求直线AF ，CF 的解析式，确定两直线与x 轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可。

（3）存在．由∠CFE=∠AFE=∠FAP ，△AFP 与△FDC 相似时，顶点A 与顶点F 对应，根据△AFP∽△FDC ，△AFP∽△FCD ，两种情况求P 点坐标。

4.（湖南郴州10分）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P 是线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），坐标为（m ，1﹣m ）（m 为常数）．（1）求经过O 、P 、B 三点的抛物线的解析式；（2）当P 点在线段AB 上移动时，过O 、P 、B 三点的抛物线的对称轴是否会随着P 的移动而改变；（3）当P 移动到点（12，12）时，请你在过O 、P 、B 三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P 、B 两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．【答案】解：（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++， ∵抛物线过原点O （0，0）．∴c=0。

把B 、P 两点的坐标分别代入，得201a b m a mb m +=⎧⎨+=-⎩，解得11a m b m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴211y x x m m =-+。

（2）由（1）可知抛物线的对称轴是11122m x m =-=⎛⎫- ⎪⎝⎭。

∴过O 、P 、B 三点的抛物线的对称轴是否会随着P 的移动而改变。

（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点K ， 过点K 作PB 的垂直平分线交抛物线于Q1，Q2两点则△Q1PB ，△Q2PB 是等腰三角形。

∵P 点的坐标是（12，12），∴OP 的解析式是y x =，且Q1Q2∥OP ，点K （12，0），∴Q1Q2的解析式是：12y x =-，抛物线的解析式为：222y x x =-+。

联立，即得直线和抛物线的交点Q1，Q2两点的坐标是51511551+--+（，），（，-）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解方程组。

【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B 点，P 点可列出方程求出a ，b 的值确定解析式。

（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变。

（3）作出对称轴与x 轴的交点为K ，过K 点作PB 的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求。