2008~2009学年第一学期《高等数学B Ⅰ》试卷2009年1月12日一、填空题（共7道小题，每小题3分，满分21分）1．2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭．2．设2log y =d y = ．3．若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '= ．4．设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，则1d d t y x == ．5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 ．6．设()d cos f x x x C =+⎰，则()()d n f x x ⎰= ．7．31211d 1x x x -+=+⎰ ．1．下列叙述正确的是（A ）有界数列一定有极限． （B ）无界数列一定是无穷大量． （C ）无穷大量数列必为无界数列． （D ）无界数列未必发散． [ ]2．设数列(){}0,1,2,n n a a n >=满足1lim 0n n n a a +→∞=，则 （A ）lim 0n n a →∞=．（B ）lim 0n n a C →∞=>．（C ）lim n n a →∞不存在．（D ）{}n a 的收敛性不能确定．[ ]3．设()f x ，()g x 在区间[,]a b 上可导，且()()f x g x ''>，则在[,]a b 上有 （A ）()()0f x g x ->．（B ）()()0f x g x -≥．（C ）()()()()f x g x f b g b ->-．（D ）()()()()f x g x f a g a ->-． [ ]4．设()f x 有三阶连续导数，且满足000()()0,()0f x f x f x ''''''==<,则下列结论正确的是（A ）()f x '的极小值为0． （B ）0()f x 是()f x 的极大值．（C ）0()f x 是()f x 的极小值． （D ）点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点．[ ]5．已知||e d 1k x x +∞-∞=⎰，则k =（A ）0．（B ）－2．（C ）－１．（D ）－0.5． [ ]6．摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的一拱与x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V =（A ）2220(1cos )d[(sin )]aa t a t t ππ--⎰． （B ）2220(1cos )d a t t ππ-⎰． （C ）2220(1cos )d aa t t ππ-⎰．（D ）2220(1cos )d[(sin )]a t a t t ππ--⎰． [ ]7．设向量,a b 满足||||-=+a b a b ，则必有（A ）-=a b 0． （B ）+=a b 0． （C ）0⋅=a b ． （D ）⨯=a b 0． [ ]1．设21cos ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 求()f x '．2．求极限 0lim →x 222010cos d x x t tx-⎰．3．设()f x 的一个原函数为sin x ，求 2()d x f x x ''⎰．4．计算 12x ⎰．5．若点M 与(2,5,0)N 关于直线4120:2230x y z l x y z --+=⎧⎨+-+=⎩对称，求点M 的坐标．四、应用题（满分8分）设曲线2=->．过点(2,0)(4)(0)y a x a-及(2,0)作曲线的两条法线，求a的值，使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小．五、证明题（共2道小题，每小题5分，满分10分）1．设()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内可导，且(1)0f =．证明在()0,1内至少存在一点ξ，使得 ()()f f ξξξ'=-．2. 设130d 1sin n n tx t t=+⎰，12n n u x x x =+++，证明数列{}n u 收敛．2008~2009学年第一学期《高等数学B Ⅰ》试卷 答案 2009年1月12日一、填空题（共7道小题，每小题3分，满分21分）1．2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭3e - ．． 2．设2log y =，则dy =223(1)ln 2xdx x -- ．． 3．若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '= 2 ．4．设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，则1t dy dx == 23 ．5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 2 ．6．设()d cos f x x x c =+⎰，则()()d n f x x ⎰=cos 2n C x π⎛⎫++⎪⎝⎭．7．31211d 1x x x -+=+⎰ 2π ．二、单选题（共7道小题，每小题3分，满分21分）1．下列叙述正确的是 （A ）有界数列一定有极限； （B ）无界数列一定是无穷大量； （C ）无穷大量数列必为无界数列；（D ）无界数列未必发散。

答：C2．设数列(){}0,1,2,n n a a n >=满足1lim 0n n na a +→∞=，则 （A ）lim 0n n a →∞=（B ）lim 0n n a C →∞=>（C ）lim n n a →∞不存在（D ）{}n a 的收敛性不能确定答：A3．设()f x ，()g x 在区间[,]a b 上可导，且()()f x g x ''>，则在[,]a b 上有 （A ）()()0f x g x ->（B ）()()0f x g x -≥（C ）()()()()f x g x f b g b ->-（D ）()()()()f x g x f a g a ->-答：D4．设()f x 具有三阶连续导数，且000()()0,()0f x f x f x ''''''==<,则下列结论正确的是 （A ）()f x '的极小值为0 （B ）0()f x 是()f x 的极大值（C ）0()f x 是()f x 的极小值（D ）点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点答：D5．已知||e d 1k x x +∞-∞=⎰，则k =（A ）0． （B ）－2．（C ）－１．（D ）－0.5．答：B6．摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的一拱与x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积V = （A ）2220(1cos )d[(sin )]a a t a t t ππ--⎰ （B ）2220(1cos )d a t t ππ-⎰（C ）2220(1cos )d a a t t ππ-⎰（D ）2220(1cos )d[(sin )]a t a t t ππ--⎰答：D7．设向量,a b 满足||||-=+a b a b ，则必有 （A ）-=a b 0（B ）+=a b 0（C ）⋅=a b 0（D ）⨯=a b 0答：C三、计算题（共5道小题，每小题8分，满分40分）1．设21cos ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 求()f x '． 0x ≠时11()2cos sin f x x x x'=+ …………（4分）0x =时2001cos ()(0)(0)limlim 0x x x f x f x f xx→→-'=== …………（8分）112cos sin ,0,()0,0x x f x x xx ⎧+≠⎪'=⎨⎪=⎩2．求极限 0lim→x 222010cos x x t dtx -⎰解 222010490480880cos lim22cos lim (2)101cos lim(4)52lim (6)51.(8)10x x x x x x t dtx x x x x x x x x →→→→--=-===⎰分分分分3． 设()f x 的一个原函数为sin x ，求2()d x f x x ''⎰．22222()d ()2()d (2)()2()()d (4)()2()2sin (6)(sin )2cos 2sin xf x x x f x x f x xx f x xf x f x x x f x xf x x C x x x x x C''''=-⋅⎡⎤'=--⎣⎦'=-++=⋅--++⎰⎰⎰分分分＝2sin 2cos 2sin x x x x x C --++． …………（8分）4．计算120x ⎰．解：()1201202arcsin (4)3.(8)26xx π=-+=-+⎰分分5．若点M 与(2,5,0)N 关于直线4120:2230x y z l x y z --+=⎧⎨+-+=⎩对称，求M 的坐标．解：l 的方向向量为3(2,2,1)114212==----i j kS …………（2分）L 的参数方程为5272x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩过N 垂直l 的平面为π：2260x y z -++=， …………（5分） l ，π交点为(1,3,2)-，即为MN 中心 设000(,,)M x y z ，则000251,3,2222x y z++=-== 解得M 为(4,1,4)-． …………（8分）四、应用题（满分8分）设曲线2(4)(0)y a x a =->．过点(2,0)-及(2,0)作曲线的两条法线，求a 的值使曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小．解：2,(2)4y ax y a ''=-=-，法线：1(2)4y x a=-． …………（2分） 2(4)y a x =-是偶函数．22012d (4)(2)4S x a x x a ⎡⎤∴=---⎢⎥⎣⎦⎰22023202212d 44224382321.3321()33()0,,32x x ax a a a x x x a ax a a a aS a a S a a a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭=+'=-'===⎰ …………（5分）32()0S a a ''=>，当a =时，S 为最小 . …………（8分）五、证明题（共2道小题，每小题5分，满分10分）1．设()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内可导，(1)0f =．证明在()0,1内至少存在一点ξ，使得 ()()f f ξξξ'=-．证明：设()()F x x f x =，在[0,1]上连续，在()0,1内可导，()()010,F F ==（3分） 在()0,1内至少存在一点ξ，使得 ()0F ξ'=。