食饵—捕食者模型稳定性分析
【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。
本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。
【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性
一、问题重述
在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。
下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
二、问题分析
本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程，并利用数学软件MATLAB求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。
然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。
三、模型假设
1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；
2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；
四、符号说明
x——食饵(食用鱼)在时刻t的数量；
x/)(1t
)
(t
x——捕食者(鲨鱼)在时刻t的数量；
y/)(2t
(t
)
r——食饵(食用鱼)的相对增长率；
1
r——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；
2
N——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；
1
N——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；
2
1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食
者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；
2σ——单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食
者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；
d
——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。
五、模型建立
食饵独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即
rx
x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正
比，于是)(t x 满足方程
axy
rx ay r x t x -=-=')()( (1)
比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。
由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d ，即dy y -='，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。
设这种作用与食饵数量成正比，于是)(t y 满足
bxy
dy bx d y t y +-=+-=')()( (2)
比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。
方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里设有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra 提出的最简单的模型。
六、模型求解
在此，我们采用MATLAB 软件求解此微分方程组中的)(1t x 、)(2t x 的图形及相轨线图形。
设5.11=σ，42=σ，11=r ，4.02=r ，35001=N ,5002=N ,使用MATLAB 软件求解，程序代码如下： 1)建立M 文件
function y=fun(t,x)
y=[x(1).*(1-x(1)./3500-1.5*x(2)./500),0.4.*x(2).*(-1+4.*x(1)./3500-x(2)./500)]';
2)在命令窗口输入如下命令：
[t,x]=ode45('fun1',[0,40],[2000,35]) 得到数值解如下：
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')
图1.数值解)(
1t
x，)(
2t
x的图形
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
图2.相轨线图形
从数值解及)(1t x ，)(2t x 的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(1250,214)。
下面对其平衡点进行稳定性分析：
由微分方程(3)、(4)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=-+---2211212222111111),(),(212
1N x N x x r N x N
x x r x x f x x f σσ
得到如下平衡点:
)0,(11N P , )1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P , )0,0(3P
因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(0,21≥x x )才有意义，所以，对2P 而言要求2σ>0。
按照判断平衡点稳定性的方法计算：
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤-+----=⎢⎢
⎣⎡⎥⎥
⎦
⎤=)21()21(2211221
2
222
1
112
2
1111
2
1
21
N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f A x x x x σσσσ
根据p 等于主对角线元素之和的相反数，而q 为其行列式的值，我们得到下表：
七、模型分析与检验
1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：
1) 对)0,(11N P 而言，有p =)1(221--σr r ，q =)1(221--σr r ，故当2σ<1时，平衡点)0,(11N P 是稳定的。
意义：如果)0,(11N P 稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。
2)对)1)1(,1)1((
212221112σσσσσσ+-++N N P 而言，有p =2
12
211
1)
1()1(σσσ
σ+-++r r ，
q
=
2
12
1211)
1)(1(σ
σσ
σ+-+r r ，故当2σ>1时，平衡点)1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P 是稳定的。
意义：如果)1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P 稳定，则两物种恒稳发展，会互相依
存生长下去。
3)对)0,0(3P 而言，由于21r r p +-=，21r r q -= ，又有题知1r >0,2r >0,故q <0,即)0,(11N P 是不稳定的。
2.平衡点的检验：
对于平衡点)1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P ，把前面给出的初始值带入，在这使
用MATLAB 软件进行简单的求解，在命令窗口输入如下代码： >> x(1)=(3500.*(1+1.5))./(1+1.5.*4); >> x(2)=(500.*(4-1))./(1+1.5.*4); >> [x(1);x(2)] ans =
1.0e+003 * 1.2500 0.2143
把此处求解出的解和前面得出的数值解进行比较可知，平衡点
)1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P 是稳定的。
八、模型的评价与推广
1.模型的评价
自然界中，任何物种即使是捕食者也有自身的阻滞作用，该模型从原始的没带自身阻滞作用模型中加入了阻滞项，使得此模型更接近于生态平衡系统。
从此模型中，我们知道两物种同时灭绝是不稳定的，也就是不太可能的，但两种群有一种灭绝一种生存是完全有可能的，两种群共存的可能也是可能的。
2.模型的推广
本文只考虑两物种模型，我们完全可以把此模型推广到三物种的情形。
自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，即系统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后，其内部制约作用会使系统自动回复原状，如恢复原有的周期和振幅，而Volterra 模型描述的周期变化状态却
不是结构稳定的。
要得到能反映周期变化的结构模型，要用到极限环的概念
参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊．数学模型,高等教育出版社.2003年
[2] 冯杰，黄力伟，王勤.《数学建模原理与案例》科学出版社，2007年1月。