技巧：十种求初等函数值域的方法
【摘要】本文给出了观察法、分离常数法、配方法、判别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、函数单调性法、导数法等十种求函数值域的方法.
【关键词】初等函数；值域
函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结.
一 观察法
观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数2
3+=
x y , 显然其值域为),0()0,(+∞⋃-∞∈y .
此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得.
二 分离常数法
此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如d
cx b ax y ++=
形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与
分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域.
例如对于函数2
31--=
x x y , 利用恒等变形, 得到:
)
23(31312331)23(3
1--=--
-=x x x y , 容易观察得出此函数的值域为),(),(31
31+∞⋃-∞∈y .
三 配方法
对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域.
例1 求函数3
42-+-=x x e
y 的值域.
解答: 此题可以看作是u
e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数, 对u 配方可得: 1)2(2
+--=x u , 得到函数u 的最大值1=u , 再根据u
e y =得到y 为增函数且
0>y , 故函数3
42
-+-=x x
e y 的值域为: ],0(e y ∈.
四 判别式法
此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数0),(=y x f 的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题.
例2 求函数2
212+++=
x x x y 的值域.
解答: 先将此函数化成隐函数的形式得:
012)12(2=-+-+y x y yx , (1)
这是一个关于x 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式
0)12(4)12(2≥---=∆y y y ,
解得: 11≤≤-
y .
故原函数的值域为: ],[21
21-∈y .
五 基本不等式法
利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件.
例3 求函数1
2++=x x y 的值域.
解答: 211
11
2
≥+
+==
+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为
),2[+∞∈y .
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
例4 求函数222++=
x x y 的值域.
解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:
22))(1(2++=+++x x c b x x , (2)
将上面等式的左边展开, 有:
)()1(2c b x b x ++++,
故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数11
)1)(1()1(++++
+==
x x x y ;
ⅰ)当1->x 时, 01>+x , 01
1>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .
ⅱ)当1-<x 时, 0)1(>+-x , 01
1>-+x , 此时有
211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-+--=+++=++++=
x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .
综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y . 六 换元法
利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域. 运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.
例5 求函数x x y 21-+=的值域. 分析: 若设x t 21-=, 则)1(21
2t x -=
(其中),0[+∞∈t ). 原函数变为 1)1(2
1
)1(2122+--=+-=t t t y .
由于),0[+∞∈t , 故]1,(-∞∈y . 七 反函数法
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用”原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质, 先求出其反函数, 进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域.
例 6 求函数1
1
+-=x x e e y 的值域.
解答: 对于此题来说,我们尝试用反函数方法求解此题. 先证明11
x x e e y -+=
有反函数, 为此, 设21x x <且R x x ∈21,,
0)
1)(1(211112
12
1221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e e e
e e e e e y y .
所以y 为减函数, 存在反函数. 可以求得其反函数为:x x
y -+-=111ln . 此函数的定义域为
)1,1(-∈x , 故原函数的值域为)1,1(-∈y .
其实, 此题也可以用分离常数法来解, 这里就不再冗述了. 八 图像法
对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.
例 7 求函数13y x x =-+-的值域.
分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.
24,(,1],
2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩
在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞.
九 利用函数的单调性
当函数f 在),(b a 上单调, 譬如f 在),(b a 上递增时, 自然有函数f 在),(b a
上的值域
为))0(),0((-+b f a f (其中)(l i m )0(),(lim )0(x f b f x f a f b
x a
x -
+→→=-=+,当+→a x 时,±∞→)(x f 也称其存在,记为)0(+a f ); 若f 在),(b a 上递减, 函数f 在),(b a 上的值域为))0(),0((+-a f b f . 在闭区间],[b a 上也有相应的结论.
例 8 求函数x x y --+=
863 的值域.
分析: 此题可以看作v u y +=和63+=x u ,x v --=8的复合函数, 显然函数
63+=x u 为单调递增函数, 易验证x v --=8亦是单调递增函数, 故函数x x y --+=863也是单调递增函数. 而此函数的定义域为]8,2[-.
当2-=x 时, y 取得最小值10-.当8=x 时, y 取得最大值30. 故而原函数的值域为]30,10[-. 十 利用导数求函数的值域
若函数f 在),(b a 内可导, 可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值, 然后再计算f 在
a ,
b 点的极限值. 从而求得f 的值域.
例 9 求函数x x x f 3)(3
-=在)1,5(-内的值域.
分析:显然f 在)3,5(-可导，且33)(2
-='x x f . 由0)(='x f 得f 的极值点为
1,1-==x x .
,
2)1(=-f 2)01(-=-f . 140)05(=+-f .
所以, 函数f 的值域为)140,2(-.。