2020年浙江高考解析几何题
作者：题海降龙
【真题回放】
（2017浙江—抛物线与圆）
如图，已知抛物线x 2=y ，点A （﹣，），B （，），抛物线上的点P （x ，y ）（﹣＜x ＜），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求|PA |•|PQ |的最大值．
【原创解法】
（2018浙江—抛物线与半椭圆）
如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．
（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
（2）若P 是半椭圆x 2
+2
4
y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2
221(,)4
B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程2
2014()422
y x y y ++=⋅
即22
000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根所以1202y y y +=因此，PM 垂直于y
轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1202
12002,8,
y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-
，12||y y -=．因此，PAB △
的面积3
2212001||||(4)24
PAB
S PM y y y x =⋅-=-△．因为2
200
01(0)4y x x +=<，所以22
00004444[4,5]y x x x -=--+∈．PAB △
面积的取值范围是15104
．
【原创解法】2018年属于简单题，关键处理好第一小题的韦达定理。

（2019浙江—抛物线与三角形）
（2019浙江）过焦点F （1,0）的直线与抛物线 y 2
=2px 交于A,B 两点,C 在抛物线,△ABC 的
重心P 在x 轴上，AC 交x 轴于点Q （点Q 在点P 的右侧）。

（1）求抛物线方程及准线方程;
（2）记△AFP ,△CQP 的面积分别为 S 1,
S 2,求
S 1
S 2
的最小值及此时点P 的坐标
【原创解法】
2020年浙江高考解几预测
近三年浙江高考解析几何都是以抛物线为大背景即抛物线与圆、椭圆、三角形的组合图形呈现。

2020年在维稳的大环境下，抛物线出现的可能性最大，但平时也需要练一下椭圆问题。

毕竟我们无法猜测高考出卷老师刹那间的灵感（想法），猜中的可能性比买彩票中奖更难。

希望在临近高考时，下面几题能激发您灵感，悟出真谛！
【题海感悟】
1、（求参变量范围）已知抛物线2
2(0)x py p =>的准线与圆()2
2
316x y +-=相
切.
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线的焦点F ，作直线l 与抛物线交于,A B 两点，若在直线()
0y t t =<上总存在点P 使得PAB ∆为正三角形，求实数t 的取值范围.
2、（存在性问题）如图，已知直线1:2(0)l y x m m =+<与抛物线1C
)0(2>=a ax y 和圆2C ：5)1(22=++y x 都相切，F 是1C （1）求m 与a 的值；
（2）设直线2l 过点F ，与抛物线1C 交于,A B 两点，在抛物线1C 的准线l 上是否存在一点P ，使得PAB ∆为正三角形，若存在，求出点P 若不存在，请说明理由．
3、（轨迹与最值）在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO 。

（1）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（2）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
4、（向量思想参变量）给定抛物线C：x y 42
=,F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.
（Ⅰ）设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的余弦值；（Ⅱ）设]9,4[,∈=λλ若AF FB
，求l 在y 轴上截距的变化范围.
5、（交点问题）已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
三点．（1）求椭圆E 的方程：
（2）若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点，(1,0),(1,0)F H -，当DFH 内切圆的面积最大时。

求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线:(1)(0)l y k x k =-≠与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．
6、（定值问题）如图，过点M (2,2)且平行于x 轴的直线交椭圆2
22
x y m +=（0m >）
于,A B 两点，且3AM MB =
．
（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）过点M 且斜率为正的直线交椭圆于点,C D ，直线,AC BD 分别交直线2x =于
点,E F ，求证：
11
||||
ME MF -
是定值．7、（面积范围）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点是()1,0F ，直线11:l y k x =，22:l y k x =分别与抛物线C 相交于点A 和点B ，过A ，B 的直线与圆22:4
O x y +=相切．
（1）求直线AB 的方程（含1k 、2k ）；
（2）若线段OA 与圆O 交于点M ，线段OB 与圆O 交于点N ，求△MON S 的取值范围．
（第6题图）
8、（面积最值）已知抛物线2:2(0)L y px p =>的焦点为F ，过点(5,0)M 的动直线l 与抛物线L 交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线L 于另一点C ，AC 的最小值为4.
（Ｉ）求抛物线L 的方程；
（Ⅱ）记ABC ∆、AFM ∆的面积分别为1S ，2S ，
求12S S ×的最小值.
9、
（定点问题）如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．（1）若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值；（2）若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点
10、（求点问题）已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆上，离心率22e =，左、右焦
点分别为12F F 、．（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线y kx =（0k >）与椭圆C 交于A ，B ，连接1AF ，1BF 并延长交椭圆C 于D ，E ，连接DE ，求DE k 与
k 之间的函数关系式．
11、（最值问题）已知F 是抛物线)0(22
>=p py x C ：的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过O F M ，,三点的圆的圆心为Q 点Q 到抛物线C 的准线的距离为4
3。

（1）求抛物线C 的方程；
（2）若点M 的横坐标为2，直线4
1
+
=kx y l ：与抛物线C 有两个不同的交点B A ,，l 与圆C 有两个不同的交点E D ,，求当22
1
≤≤k 时，
2
2DE AB +的最小值.
12、（定值问题）已知抛物线C：px y 22
=经过点），（21P ，过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点
A，B，且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N．（1）求直线l 的斜率的取值范围；
（2）设O 为原点，QO QN QO QM μλ==,，，求证：
μ
λ
1
1
+
为定值．
13、（切线问题）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线2
2:1C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（1）求抛物线1C 的方程及其准线方程；
（2）过点P 作抛物线2C 的两条切线，A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．
14、（定点问题）已知过抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于
()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且6AB =.
（1）求该抛物线C 的方程；
（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由.
15、（基本技能）它的长轴右端点A 与短轴上端点B 的连线AB ∥OM .（1）求椭圆的离心率；
（2）若Q 是椭圆上任意一点，F 2是右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；
（3）过F 1作AB 的平行线交椭圆于C 、D 两点，若|CD |=3，求椭圆的方程.。