基本公式·排列组合二项式定理及概率统计151排列数公式 ：m n A =)1()1(+--m n n n ！！)(m n -(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=154组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C +规定0=n C 155组合恒等式（3）11m m nn n C C m --=; （4）∑=nr r nC 0=n2; （5）121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (6)n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ (7)4205312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C(8)321232-=++++n n n n n nn nC C C C (9)rm r n r m n r m nrm C C C C C C C +-=+++0110(10)n nn n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++156排列数与组合数的关系:mmn n A m C =⋅！157．单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列）（1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m kk ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当1+>m n时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法 （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n C C C C C N )!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- （2）(平均分组无归属问题)将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m m C C C C C N )!(!!...22=⋅⋅⋅⋅=-- （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，mn 件，且1n ，2n ，…，mn 这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n m C C C N m m=⋅⋅=-（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!...!(!!!...)m n n n a b c =（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!21m n n n N =（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m堆，且1n ，2n ，…，mn 这m个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!21c b a n n n N m =（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...! (212)11m n n n n p n p n n n C C C N m m =⋅=-159．“错位问题”及其推广①信2封信与2个信封全部错位有1种排法； ②信3封信与3个信封全部错位有2种排法； ③信4封信与4个信封全部错位有9种排法； ④信5封信与5个信封全部错位有44种排法； 160．不定方程2n x x x m =1+++的解的个数(1)方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈）的正整数解有11m n C --个(2) 方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈）的非负整数解有 11n m n C +--个(3) 方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈）满足条件i x k ≥(k N *∈,21i n ≤≤-)的非负整数解有11(2)(1)n m n k C -+---个161 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， =2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系：012(1)n a a a a f ++++=；012(1)(1)n n a a a a f -+++-=-；0a f =167n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k kn k n n P k C P P -=-187)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）00000()lim limx x x x yf x y x x=∆→∆→∆''===∆∆ 188瞬时速度：0()lim limt t s s t t tυ∆→∆→∆'===∆∆ 190)(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===0lim limx x y x x∆→∆→∆==∆∆ 191 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是)((000x x x f y y -'=-192几种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）1()()n n x nx n Q -'=∈(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -=' (5) x x 1)(ln ='；1(log )log xa a x'=(6) x xe e=')(; a a x x ln )(='193导数的运算法则（1）''()u v u v ±=±（2）''()uv u v uv =+（3）'''2()(u u v uv v v v -=≠194复合函数的求导法则设函数()ux ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ''=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数()u y f u ''=，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且x u x y y u '''=⋅，或写作(())()(x f x f u x ϕϕ'''=195常用的近似计算公式（当x充分小时）(1)x x 2111+≈+;x n x n 111+≈+；(2)(1)1()x x R ααα+≈+∈； x x-≈+111； (3)x e x+≈1；(4)x x l n ≈+)1(；(5)x x ≈sin （x 为弧度）； (6)x x ≈tan （x 为弧度）；(7)x x ≈arctan （x 为弧度） 196判别)(0x f 是极大（小）值的方法当函数)(x f 在点0x 处连续时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值204三角形的内角平分线性质：在ABC ∆中，A ∠的平分线交边BC 于D ，则BD DC AC=（三角形的外角平分线也有同样的性质）。