第七章 静电场 问题7-1 设电荷均匀分布在一空心均匀带电的球面上，若把另一点电荷放在球心上，这个电荷能处于平衡状态吗？如果把它放在偏离球心的位置上，又将如何呢？解 我们先考虑电荷均匀分布的带电球面在球内的电场强度E 的分布情况，由0q =E F 来判断某处点电荷是否能处于平衡状态。

对于球心O 处，由于球面电荷分布均匀，球面上各点的电荷在球心处的电场强度在各个方向上都是均衡的，又由于电场强度为矢量，所以其合矢量为零，偏离球心的任一点P 处的电场强度可以由高斯定律求得，根据球面电荷分布的对称性，我们选取过点P 、与带电球同心的球面为高斯面。

利用高斯定理有0Sd ⋅=⎰E S ，所以在点P 处的电场强度也为零。

由上分析可知，在均匀带电的球面内任一点（球心或者偏离球心）处放一点电荷，此电荷受到的合力都为零，都能处于平衡状态。

7-2 在电场中某一点的电场强度定义为0q =FE ，若该点没有试验电荷，那么该点的电场强度又如何？为什么？解 该点电场强度不会改变。

因为电场强度反映的是电场本身的性质，它是电场本身的属性，与试验电荷的存在与否无关。

7-3 我们分别介绍了静电场的库仑力的叠加原理和电场强度的叠加原理。

这两个叠加原理是彼此独立没有联系的吗？解 这两个叠加原理并非彼此独立，而是相互联系的。

这两个叠加原理都是矢量叠加原理，电场强度的叠加原理是由库仑力的叠加原理推导而来的。

7-4 电场线能相交吗？为什么？解 不能相交。

由电场线性质可知，电场中任一点的电场强度的方向与此处电场线切线方向。

若两条电场线相交，则相对于不同的电场线，相交处的电场强度有不同的方向，而电场中一点的电场强度只能有一个确定的方向，所以电场线不能相交。

7-5 如果穿过曲面的电场强度通量e 0Φ=，那么，能否说此曲面上每一点的电场强度E 也必为零呢？解 不能。

由e SΦd =⋅⎰E S 知，穿过曲面的电场强度通量不仅与电场强度的大小有关，而且还与所取的曲面有关。

若组成曲面S 的各个面积元d S 的单位法线矢量n e 与该处的电场强度E 之间的夹角均为90，则e 0Φ=，但曲面上各点的电场强度E 并不为零。

7-6 若穿过一闭合曲面的电场强度通量不为零，是否在此闭和曲面上的电场强度一定是处处不为零？解 不一定。

如右图为两个等量电荷，穿过闭合曲面S 的电场强度通量为0q ε，但是在曲面上点O 处，即两电荷的中心处，电场强度为零。

7-7 一点电荷放在球形高斯面的球心处。

试讨论下列情形下电场强度通量的变化情况：（1）若此球形高斯面被一与它相切的正方形表面所代替；（2）点电荷离开球心，但仍在球内；（3）有另一个电荷放在球面外；（4）有另一个电荷放在球面内。

解 由高斯定理，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以0ε. 对于情况(1)、(2)、(3)，面内的电荷代数和没有变，电场强度通量不变。

在第（4）种情况中，电场强度通量随面内电荷数改变而改变。

7-8 下列几个带电体能否用高斯定理来计算电场强度？为什么？作为近似计算，应如何考虑呢？（1）电偶极子；（2）长为l 的均匀带电直线；（3）半径为R 的均匀带电圆盘。

解 以上几个带电体都不能用高斯定理来计算电场强度，因为它们在空间的电场分布没有对称性，所以通常用电场强度的叠加原理直接求解。

在近似计算中，对于带电直线，当考虑的场点到直线的距离远小于带电直线的长度时，可以利用高斯定理求解；对于均匀带电圆盘，当场点到圆盘的距离远小于圆盘线度时，也可以利用高斯定理求解。

7-9 电荷q 从电场中的点A 移到点B ，若使点B 的电势比点A 的电势低，而点B 的电势能又比点A 的电势能要大，这可能吗？说明之。

解 可能。

电势能是电荷处于电场中所具有的能量，它不仅与两点间电势差有关，还与电荷有关。

若电荷q 为负，将它从电场中的点A 移到点B ，电场力做负功，电势能增加，电荷q 在点B 的电势能比点A 的电势能要大。

q7-10 当我们认为地球的电势为零时，是否意味着地球没有净电荷呢？ 解 不是，电势为零与是否有静电荷并无直接关系。

7-11 在雷雨季节，两带正、负电荷的云团间的电势差可达1010V ，在它们之间产生闪电通过30C 的电荷。

说明在此过程中闪电所消耗的电能相当于10kW 发电机在多长时间里发出的电能。

解 在此过程中闪电所消耗的电能为113.010J E qU ==⨯，它相当于10kW 发电机在7310s ⨯，即大约8333h 内发出的电能。

7-12 已知无限长带电直线的电场强度为()02E r rλ1=πε，我们能否利用A A V d V ∞∞=⋅+⎰E l并使无限远处的电势为零（0V ∞=），来计算“无限长”带电直线附近点A 的电势？ 解 对于电荷分布在有限空间的情况，我们通常取无限远处为参考点，但对于“无限长”带电直导线产生的电场，不能取无限远处为零电势参考点，应该在场内选择一适当的参考点。

例如可以取与直导线相距为r 处的电势为零。

7-13 在电场中，电场强度为零的点，电势是否一定为零？电势为零的点，电场强度是否一定为零？试举例说明。

解 电场强度为零的点，电势不一定为零。

例如，电荷为Q 、半径为R 的均匀带电球壳内电场强度为零，但壳内各处的电势并不为零，而应与球壳表面的电势相等，大小为04QRεπ.电势为零的点，电场强度不一定为零。

例如，电偶极子中垂线上电势为零，但电场强度并不为零。

7-14 电场中，有两点的电势差为零，如在两点间选一路径，在这路径上，电场强度也处处为零吗？试说明。

解 不一定，由BAB AU d =⋅⎰E l 可知，两点间电势差还与路径选择有关。

例如匀强电场中，对于垂直电场强度方向的平面上的任意两点电势差为零，但连接这两点的任一路径的电场强度均不为零。

习题7-1 1964年，盖尔曼等人提出基本离子是由更基本的跨克构成，中子就是由一个带2e 的上夸克和两个带e -的下夸克构成，将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为2010m -），中子内的两个下夸克之间相距152.6010m -⨯，求它们之间的斥力。

解 由题意可知，夸克可视为经典粒子，由库仑定律212220011 3.78N 449r r r q q e r r πεπε===F e e e7-2 质量为m ，电荷为e -的电子以圆轨道绕氢核旋转，其初动能为k E ，证明电子的旋转频率满足2320k432E meεγ= 其中0ε是真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学定律。

证明 由于电子、氢核的大小（1510m -）远小于圆轨道半径（1010m -），所以可以将电子和氢核视为点电荷，电子绕氢核作圆周运动的向心力由电子、氢核间的库仑力提供，即222014mv e r rε=π （1） 由上式可得电子运动的动能为22k 01128e E mv rε==π （2）又电子旋转的角速度22k22E v r mr ω⎛⎫== ⎪⎝⎭（3） 由（2）（3）式可得电子的旋转频率为23220k 24324E me εωγ==π 7-3 在氯化铯晶体中，一价氯离子Cl -与其最邻近的八个一价铯离子Cs +构成如图所示的立方晶格结构。

（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作晶格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。

解 （1）晶体中氯离子、铯离子均可视为点电荷，氯离子与铯离子相互作用力沿立方体体对角线，由对称性，氯离子所受到总的库仑力为零。

（2）由第一问可知，缺陷以外的铯离子对氯离子总的作用力与在缺陷处的铯离子对氯离子的作用力大小相等，方向相反，即2912220011 1.9210N 43q q eF r aεε-===⨯ππ 其方向如图所示。

7-4 两个点电荷所带电荷之和为Q ，问它们各带同号电荷为多少时，相互之间的作用力最大？解 设其中一个点电荷带电量为q ，由题意可知另一个点电荷带电量为()Q q -，则两电荷之间的相互作用力为()2014q Q q F r ε-=π 由极值条件0dFdq=可得 12q Q =此时 2220102d F dq r ε=-<π所以当两点电荷带等量电荷12Q 时，其相互作用力达到最大。

7-5 若电荷均匀地分布在长为L 的细棒上，求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为nm- Cs +2204QE r L ε1=π-（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为E =若棒为无限长（即L →∞），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。

证明 这是求解电荷连续分布电荷体系的电场强度。

如图所示建立坐标系，坐标原点O 在细棒中心，坐标轴Ox 沿细棒方向。

电荷均匀分布的细棒上电荷线密度为QLλ=，在细棒上距原点x 处取长度为dx 的电荷元dq ，因此Qdq dx dx Lλ==，则它在P 点产生的电场强度为2014r dqd rε='πE e r '为电荷元与点P 的距离。

（1）若点P 在棒的延长线上，细棒上各电荷元在点P 的电场强度均沿x 轴，214LL dqd r ε=='π⎰⎰E Ei i考虑到r r x '=-，所以点P 处电场强度大小为 ()222220044L -L Q dx QE L r L r x εε1==ππ--⎰（2）若点P 在棒的垂直平分线上，由对称性可知，P 点电场强度沿y 轴， 201sin 4LL dqd r αε=='π⎰⎰E Ej j α为电荷元与点P 连线与x 轴方向的夹角，由图可知sin r r α'=，且r 'P 处电场强度大小为x()23222204L -L Q rdx E L r x ε==π+⎰若棒为无限长（即L →∞），由上式可得limL E =L = 02rλε=π 此结果与无限长均匀带电直线的电场强度分布相同，说明当空间点P 与带电棒的距离r 远远小于棒的线度（即221rL ）时，可将带电棒视为无限长带电直线。

7-6 一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ，求环心处的电场强度。

解 如图所示，以细环圆心为原点O 建立坐标系Oxy ，半圆细环可看作电荷均匀分布的半圆细弧线，在弧线上取弧长为dl 的电荷元dq ，则Qdq dl R=π，它在环心（即原点O ）处的电场强度为2014rdqd rε=πE e 又由于圆环电荷对于y 轴呈对称性分布，整个半圆环在环心处的电场强度沿x 轴的分量为零，即0xLdE=⎰，环心处电场强度只有在y 轴方向的分量，即30sin sin 4y LLL Q E dE dE dl Rθθε2==-⋅=-π⎰⎰⎰又dl Rd θ=，带入上式变换积分元可得 2200sin 4Q Q E d RR θθεεπ22=-=-π2π⎰其方向沿y 轴负方向。