线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里 是1，2，·n的一个排列。

当 是偶排列时，该项的前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。

式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。

2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。

用 表示排列 的逆序数。

3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。

4.2阶与3阶行列式的展开—— ，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去 所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为 的余子式，记为 ；称为 的代数余子式，记为 ，即 。

6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作 。

二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。

2.两行互换位置，行列式的值变号。

特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。

4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若 ，则，且特征值相同。

一般情况下：五、行列式的计算1.数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行)k i倍都加到同一列(行)。

②逐行(或逐列)相加③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法——①验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。

②验证n=1和n=2时命题都正确，假设n<k命题正确，证明n=k，命题正确。

③对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。

2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k、拆项)等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。

☆利用单位矩阵恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。

3.行列式|A|是否为0的判定若A=[]是n阶矩阵，那么③看特征值是否为0；④反证法；⑤若|A|=k|A|，且k≠1时也能得出|A|=04.代数余子式求和①按定义直接计算求和；②用行列式的按行或列展开的公式。

由于 的值与 的值没有关系，故可以构造一个新的行列式|B|，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。

P205例20③利用行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0的性质④根据伴随矩阵的定义，通过求再来求和。

第二章矩阵一、矩阵的概念及运算矩阵——m×n个数排成如下m行n列的一个表格称为是一个m×n矩阵，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵。

如果一个矩阵所有元素都是0，则称为零矩阵，记作O。

两个矩阵 ， ，如果m=s，n=t，则称A与B是同型矩阵两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A与B相等，记作A=B。

矩阵A是一个表格，而行列式|A|是一个数。

二、矩阵的运算1.(加法)设A、B是同型矩阵，则2.(数乘)3.(乘法)若A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，则A、B可乘，且乘积AB是一个m×n矩阵。

记成 ，其中4.转置将矩阵A的行列互换得到矩阵A的转置矩阵三、矩阵的运算规则ABC为同型矩阵，则1.加法—— ；； ；2.数乘—— ；；；；3.乘法 ABC满足可乘条件； ；注意一般情况下 不能推出 或且，不能推出对角矩阵对角矩阵的逆矩阵4.转置——；；；5.伴随矩阵——； ；；；；；6.方阵的幂——，注意7.特殊方阵的幂 (求 )——①若秩 ，则可以分解为两个矩阵的乘积，有 ，从而例如P218②特殊的二项式展开③分块矩阵④特征值、特征向量、相似⑤简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。

四、特殊矩阵设A是n阶矩阵：①单位阵：主对角元素为1，其余元素为0，记成 或②数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。

③对角阵：非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成 。

， ，，④上(下)三角阵：当 时，有 的矩阵称为上(下)三角阵。

⑤对称阵：满足 ，即 的矩阵称为对称阵⑥反对称阵：满足 ，即 ， 的对称阵称为反对称阵。

⑦正交阵： 的矩阵称为正交阵，即⑧初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。

⑨伴随矩阵：见(一.1.6)五、可逆矩阵1.主要定理：若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。

行列式不为0则矩阵可逆。

2.概念——设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得 成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成3.可逆的充要条件——①存在n阶矩阵B使得AB=E② ，或秩r(A)=n，或A的列(行)向量线性无关③齐次方程组Ax=0只有零解④矩阵A的特征值不全为04.逆矩阵的运算性质——若 ，则若A，B可逆，则；特别地若可逆，则； ；注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地5.求逆矩阵的方法——①若 ，则行初等变换②初等变换③用定义求B，使得AB=E或BA=E，则A可逆且④分块矩阵，设B,C都可逆，则；六、初等变换、初等矩阵1.主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变换；若是右乘就是相应的列变换。

2.初等变换——设A是 矩阵，(倍乘)用某个非零常数 乘 的某行(列)的每个元素，(互换)互换A的某两行(列)，(倍加)将A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。

称为初等变换。

3.初等矩阵——由E经过一次初等变换所得的矩阵倍乘初等矩阵互换初等矩阵倍加初等矩阵4.等价矩阵——矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成 。

若，则后者称为A的等价标准形。

(A的等价标准型是与A等价的所有矩阵中的最简矩阵。

)5.初等矩阵与初等变换的性质——①初等矩阵的转置仍然是初等矩阵；②初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵，，③左行右列④当A时可逆矩阵时，则A可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵 ，，·，，使得七、矩阵的秩1.求秩的主要方法：经过初等变换矩阵的秩不变；如果A可逆，则 ，2.矩阵的秩——设A是m×n矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，且所有r+1阶子式均为0，则称矩阵A的秩为r，记成r(A)，零矩阵的秩规定为0。

3.矩阵的秩的性质——矩阵A中非零子式的最高阶数是rA中每一个r阶子式全为0A中有r阶子式不为0特别地， ；若A是n阶矩阵， 可逆不可逆若A是m×n矩阵，则4.矩阵的秩的公式——；当 时， ；；若A可逆，则 ，若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则分块矩阵 。

八、分块矩阵1.概念——将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块)，把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。

由于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。

2.分块矩阵的运算——对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行)，就有如下运算法则：若B,C分别是m阶与s阶矩阵，则，若B,C分别是m阶与s阶可逆矩阵，则，若A是m×n矩阵，B是n×S矩阵且AB=O，对B和O矩阵按列分块有即B的列向量是齐次方程组 的解。

线性表出P214第三章、向量一、n维向量的概念与运算1.n维向量——n个有序数组 所构成的一个有序数组成为n维向量，记成或，分别称为n维行向量或n维列向量，数 称为向量的第i个分量。

2.零向量——所有分量都是0的向量称为零向量，记为03.相等——n维向量与维向量相等，即4.运算—— n维向量与(加法)，，(数乘)，，，(内积)，称为向量的长度。

， ，等号成立当且仅当。

特别地，如 ，则称与正交二、线性表出、线性相关1.线性组合——m个n维向量及m个数 所构成的向量称为向量组的一个线性组合，数 称为组合系数。

2.线性表出——①对n维向量和，如果存在实数 ，使得则称向量是向量的线性组合，或者说向量可由线性表出。

②设有两个n维向量组(Ⅰ)；(Ⅱ)；如果(Ⅰ)中每个向量都可由(Ⅱ)中的向量线性表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出。

如果(Ⅰ) 、(Ⅱ)这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。

等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。

向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。

向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。

等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。

3.线性相关、无关——对于n维向量，如果存在不全为零的数 ，使得则称向量组线性相关，否则称它线性无关。

关于线性无关，只要 不全为零，必有 ，或者，当且仅当 时，才有显然，含有：零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯形向量组一定是线性无关的。

证明：证明线性无关通常的思路是：用定义法(同乘或拆项重组)，用秩(秩等于向量个数则线性无关)，齐次方程组只有零解或反证法。

4.重要定理——①n维向量组线性相关齐次方程组有非零解秩②n个n维向量线性相关行列式③ 个n维向量必线性相关。

④如果线性相关，则必线性相关。

⑤如果n维向量组线性无关，则它的延伸组必线性无关。

⑥n维向量可由线性表出非齐次方程组有解秩⑦向量组线性相关至少有一个向量由其余s-1个向量线性表出。

⑧向量组线性无关，而向量组向量组线性相关，则向量可由线性表出，且表示方法唯一。

⑨设有两个n维向量组(Ⅰ)；(Ⅱ)，如果向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，且 ，则必线性相关。

若n维向量组可由线性表出，且线性无关，则三、极大线性无关组、秩1.概念——设向量组中，有一个部分组，满足条件①线性无关；②再添加任一向量，向量组必线性相关；(向量组中任何一个向量必可由线性表出)则称向量组是向量组的一个极大线性无关组。

注：只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。