第1讲角的存在性处理策略知识必备一、一线三等角1.如图1-1-1，o90=∠=∠=∠E D ACB 且045=∠CAB →CBE ACD ∆∆≌，此为“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等;图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-42.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为“一线三直角”相似，又称“K 字型”相似;3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义如图1-1-4，在ABC Rt ∆中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的对边与A ∠的邻边之比；同理，abB =∠tan ，则1tan tan =∠⋅∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼一、基本策略：联想构造 二、构造路线方式(一)：构造“一线三等角”1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1；图1-2-12.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2； 图1-2-23.tanα=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3；4.“一线三等角”的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示；方式（二）：构造“母子型相似”“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示.方式（三）：整体旋转法（*）前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.下面以三个问题说明此法： 问题1 已知点A （3，4），将点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º角，求其对应点A’的坐标.简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB ⊥y 轴于点B ，则AB =3，OB =4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到点A ’，可看成Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到Rt △OA ’B ‘，则图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7图1-2-8A ’B ’=8，OB ’=4，且∠BOB ’=45º；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''；事实上,Rt △OCB '与Rt △B DA ''都是等腰直角三角形,于是有OC =B C '=22,B D '=A D '=232,故点A '的坐标为722(,)22； 问题 2 已知点(4,6)A ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,其中tan a =12,求其对应点A '的坐标.简析 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB ⊥y 轴于点B,则AB =4,OB =6,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=4,OB '=6, 且tan ∠BOB '=tan a =12；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''， 于是有B C '=565,OC =5125,A D '=545,B D '=585,故点A '的坐标为55(,)55148.问题3 已知点(,)A a b ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,求其对应点A '的坐标.简析 不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题： 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作AB ⊥y 轴于点B,则AB=a ,OB =b ,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=a ,OB '=b ,且∠BOB '=a ；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''，于是有B C '=sin b a ,OC =cos b a ,A D '=sin a a ,B D '=cos a a , 故点A '的坐标为(,)cos sin cos sin a a b a b a a a +-.例1(2019•日照)如图1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为，图1-2-9∠AOB=∠OBA=45°，则k 的值为_______。

简析由题可知，△OAB 为等腰直角三角形；如图1-3-2，构造“一线三直角”结构，即Rt △OAD ≌Rt △ABC ； 设OD=AC=t ，则A(，t)，B(，)，从而有t=()()，解得； 因此有。

反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角”，即“K 字型”全等。

例2如图1-3-3，已知反比例函数的图像经过点A(3，4)，在该图像上找一点P ，使∠POA=45°，则点P 的坐标为_______。

简析1（构造“一线三直角”）：如图1-3-4，作AB ⊥OA 交OP 于点B ，则△OAB 为等腰直角三角形；再造“一线三直角”结构，即Rt △OAD ≌Rt △ABC ，由A(3,4)，可得OD=AC=4，AD=BC=3，则B(7,1)，故直线OP 的解析式为，且反比例函数的解析式为，联立得，解得（负值舍去），故点P 的坐标为(，)。

简析2（构造“一线三等角”）：如图1-3-5，分别过点A 、P 作y 轴的垂线，垂足依次为点D 、E ，再在y 轴上分别找点B 、C ，使BD=AD ，CE=PE ，则∠ABO=∠PCO=45°； 由∠POA=45°，易证△ABO ∽△OCP ，则，即AB •CP=BO•OC ；由A(3，4)，可得，BO=BD+OD=7，k=12，再设点P(t ，)，则CP=，OC=CE-OE=PE-OE=，从而有，解得，故点P 的坐标为()。

450是一个神奇美妙、让人浮想联翩的角。

依托450角，自然联想到构造等腰直角三角形。

然后依托等腰直角三角形，再造“一线三直角”，这是处理450角的基本策略之一。

xy 图1-3-5CE PB D AO如图1-3-6，若∠C=450，一般有四种方式构造直角三角形，但建议将已知点作为直角顶点，相对而言会更简单。

这也体现出了“以不变应万变”的解题策略。

解法1，从头到尾几乎口算，不需要设元，原因在于构造等腰直角三角形时。

将已知点A 作为直角顶点，否则需要设元求解，很是麻烦。

解法2，将y 轴看成所谓“一线”。

利用一个450角，再补两个“450”角，构造“一线三等角”，设出坐标，巧妙解题，这是角的存在性问题另一种重要处理策略。

如图1-3-7，已知抛物线272y x x c =-++与x 轴交于A 、B 两点，且经过点()02C ，、732D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是直线CD 上方抛物线上一动点，当0=45PCD ∠时，求点P 的坐标。

策略一：450 →构等腰直角三角形→造“一线三直角”.简析：易求抛物线的解析式为2722y x x =-++，直线CD 的解析式为122y x =+如图1-3-8，过点D 作DQ ⊥CQ ，交CP 的延长线于点Q ，过点D 作平行于y 轴 的直线，并分别过点C 、Q 向该直线上作垂线，垂图1-3-7 图1-3-9 图1-3-8足依次为点E 、F ，则△CDQ 为等腰直角三角形，△CED ≌△DFQ ，DF=CE=3,QF=DE=,故Q 点坐标为31322⎛⎫⎪⎝⎭， 利用C 、Q 两点，可以求出直线CP 的解析式32y x =+，在与抛物线联立得232722y x y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩ ，解得=02x y ⎧⎨=⎩（舍去），或1=272x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，因此点P 坐标为1722⎛⎫ ⎪⎝⎭， 类似的，也可以过点P 作垂线等。

但不推荐，否则直角顶点未知。

需要设元求解，而简析1直角顶点D 已知，故而顺风顺雨。

理论上，在直线CD 上任取一个已知点，将之做为等腰直角三角形的直角顶点，都可顺利解决，如图1-3-9所示，可自行探究。

对比例2，还可以发现，双曲线与抛物线都是“幌子”，借助450角的处理策略，他们仅仅起到最后联立解方程组求交点的作用。

练就“慧眼”，便可以“识珠”，很多题目的命制套路就是如此. 策略二：一个45°→补两个45°→造“一线三等角”如图1－3－10，过点P 、D 向轴上做垂线，补出两个45°角，构出“一线三等角”结构，即∆PCE ∽∆CDF ，则有DFCECF PE =，即PE ·DF=CE ·CF ；由题可设P(t ，-t+27t+2),易得PE=2t ，DF=32,CE=-t+27t+2+t-2=-t ²+29t,CF=2-(27-3)=23,因此有2t ·32=23(-t ²+29t)，解得t=21（t=0舍去），故点坐标为（21，27）因本题数据的特殊性，最后可以看出，点P 、D 的纵坐标相等，故过点P 、D 向y 轴做垂线，垂足重合，即图中的G 点，其实巧合与否，对解题并无影响；此外，所谓“一线”，也可以做成“水平线，甚至于“斜线”，可自行探究，一般选择现有的“一线”比较合适。

策略三：一个45°→再补一个45°→造“母子型相似”如图1-3-11，过点D 作y 轴的平行线交CP 的延长线于点Q ，交x 轴于点G ，再作CE ⊥QG 于点E ，构造等腰RT ∆CEF ，则∠F=45°,EF=CE=3,DE=23由∠PCD=45°，可得∆QCD ∽∆QFC ，易证QC ²=QD ·QF ； 设QD=t ，则QC ²=QE ²+CE ²=(t+23)²+9，故有(t+23)²+9=t ·(t+29)，解得t=215，故点的坐标为(3,11) 再利用C 、Q 两点，可求出直线的解析式为y=3x+2，与抛物线联立得y=3x=2、y=-x ²+27x+2解得x=0、y=2，（舍去）或x=21、y=27，故点坐标为（21，27）。