存在性问题
1.如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；
（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N
在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．
4.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC 的面积等于27，试求m的值.
的图象交于点A，且与x轴交于点B．
如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=x
3
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，
请说明理由．
5.
答案：1. （1）由题意，可设抛物线的解析式为2
(2)1y a x =-+，∵抛物线过原点，
∴2
(02)
10a -+=， 14
a =-
． ∴抛物线的解析式为
21(2)14y x =--+21
4
x x =-+．
（2）AOB △和所求MOB △同底不等高，3MOB
AOB S S =△△且，
∴MOB △的高是AOB △高的3倍，即M 点的纵坐标是3-． ∴2
134
x x -=-
+，即24120x x --=．解之，得 16x =，22x =-． ∴满足条件的点有两个：1(63)M -，
，2(23)M --，． （3）不存在．由抛物线的对称性，知
AO AB =，AOB ABO ∠=∠．
如图，若OBN △与OAB △相似，必有BON BOA BNO ∠=∠=∠．
设ON 交抛物线的对称轴于A '点，显然(21)A '-，
． ∴直线ON 的解析式为1
2
y x =-．
由211
24
x x x -
=-+，得10x =，26x =∴ (63)N -，
．过N 作
NE x ⊥轴，垂足为E ．在
Rt BEN
△中，
2BE =，3NE
=，
∴NB ==．又OB =4，∴
NB OB ≠，
BON BNO ∠≠∠，OBN △与OAB △不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件
的N 点．所以在该抛物线上不存在点N ，使OBN △与OAB △相似．
2. 解答：解：（1）∵OB=OC=3，∴B （3，0），C （0，3）
∴⎩⎨
⎧=++-=c c
b 3390，解得
⎩⎨
⎧==3
2
c b ∴二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3； （2）∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴M （1，4）
设直线MB 的解析式为y=kx+n ，则有⎩⎨⎧+=+=n k n
k 304解得
⎩
⎨⎧=-=62
c k ∴直线MB 的解析式为y=-2x+6∵PD ⊥x 轴，OD=m ，∴点P 的坐标为（m ，-2m+6） S 三角形PCD =
2
1
×（-2m+6）•m=-m 2+3m （1≤m≤3）； （3）∵若∠PDC 是直角，则点C 在x 轴上，由函数图象可知点C 在y 轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，在△PCD 中，当∠DPC=90°时，当CP ∥AB 时，∵PD ⊥AB ，∴CP ⊥PD ，∴PD=OC=3，
∴P 点纵坐标为：3，代入y=-2x+6，∴x=
23，此时P （23，3）．∴线段BM 上存在点P （2
3
，3）使 △PCD 为直角三角形．当∠P′CD′=90°时，△COD′∽△D′CP′，此时CD′2=CO•P′D′， 即9+m 2=3（-2m+6），∴m 2+6m-9=0，
（1） 3. 解：分别把A （1，0）、B （3，0）两点坐标代入y=x 2+bx+c 得到关于b 、c 的方程组，
解之得：b=-4，c=3，∴抛物线的对称轴为：直线x=2；
4. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2
－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2∣＝
=∴m 2
－4m ＋3=0 解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 .
（2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点∴2
22,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩
①②
①＋②得：－2a 2
－2m ＋4＝0 . ∴a 2
＝－m ＋2 .
∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.
∴a = .这时M 、N 到y
又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2×1
2
×（2－m ∴解得m=－7 .。