高三数学总复习数列专题复习第一课时1、 设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且23S ＝9S 2，S 4＝4S 2，求数列的通项公式．2、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n．（1） 写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；（2） 求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a )1(32为等比数列，并求出{}n a 的通项公式．3、 已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足：.22,1175243=+=⋅a a a a（Ⅰ）求通项n a ；（Ⅱ）若数列}{n b 是等差数列，且c n S b nn +=，求非零常数c ；4、数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1,a n +1=n n 2+S n (n =1,2,3，…)．证明：(i)数列{n S n}是等比数列；(ii)S n +1=4a n .答案： 1、设数列{}n a 的公差为d由题意得：⎩⎨⎧+=++=+)2(464)2(9)33(11121d a d a d a d a ⎩⎨⎧==001d a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==98941d a 因为0≠d 所以98,941==d a 9498-=n a n2、（1）在1,)1(2≥-+=n a S nn n 中分别令3,2,1=n 得： ⎪⎩⎪⎨⎧-=+++=+-=121212332122111a a a a a a a a a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧===201321a a a（2）由1,)1(2≥-+=n a S n n n 得：2,)1(2111≥-+=---n a S n n n 两式相减得：2,)1(2)1(211≥----+=--n a a a n n n n n 即：2,)1(221≥--=-n a a nn n nn n n n n n a a a )1(32)1(342)1(32)1(342111---+=----=---)2)()1(32(2)1(3211≥-+=-+--n a a n n n n 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a )1(32是以31321=-a 为首项，公比为2的等比数列． 所以 1231)1(32-⨯=-+n n n a nn n a )1(322311-⨯-⨯=-3、（1）设数列{}n a 的公差为d由题意得：⎩⎨⎧=+=++2252117)3)(2(111d a d a d a ⎩⎨⎧==411d a 或 ⎩⎨⎧-==4211d a （舍去）所以：34-=n a n（2）nn n n S n -=-+=222)341(由于 c n S n + 是一等差数列 故ban c n S n+=+对一切自然数n 都成立即：bc n b ac an b an c n n n +++=++=-)())((222 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012bc b ac a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===2102c b a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==012c b a （舍去）所以21-=c 4、（1）由n n S n n a 21+=+ 得：n n n S n n S S 21+=-+ 即n n S n n S 221+=+所以n S n S nn =++11 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是以1为首项,公比为2的等比数列．（2）由（1）得12-=n nn S 12-⨯=n n n S nn n S 2)1(1⨯+=+所以 2212)1()2(2)1()1(1)2()1(1---⨯+=⎩⎨⎧≥⨯+==⎩⎨⎧≥-==n n n n n n n n n n S S n a所以n n a S 41=+第二课时1、已知等差数列｛a n ｝，公差大于0，且a2、a 5是方程x 2—12x +27=0的两个根，数列｛b n ｝的前n 项和为T n ，且T n =1—nb 21．（1）求数列｛a n ｝、｛b n ｝的通项公式； （2）记c n = a n ·b n ，求证：n n c c ≤+1．2、设}{n a 是由正数组成的无穷数列，S n是它的前n 项之和，对任意自然数n a n ,与2的等差中项等于S n 与2的等比中项. （1）写出321,,a a a ；（2）求数列的通项公式（要有推论过程）；2、 已知数列}{n a 成等差数列，nS 表示它的前n 项和，且6531=++a a a ， 124=S .⑴求数列}{n a 的通项公式na ；⑵数列}{n n S a 中，从第几项开始(含此项)以后各项均为负数？4、设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且数列{a n +1－a n }（n ∈N *）是等差数列，数列{b n －2}(n ∈N *)是等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）是否存在k ∈N *，使a k －b k ∈（0，21）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由.答案： 1、 （1）设{}n a 的公差为d由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>==+027125252d a a a a 即：⎪⎩⎪⎨⎧>=++=+027)4)((1252111d d a d a d a 解得：⎩⎨⎧==211d a所以：12-=n a n由n n b T 211-= 得：11211---=n n b T两式相减：)211()211(1----=n n n b b b 即：131-=n n b b 所以{}n b 是31以为公比b 为首项的等比数列．在n n b T 211-=中令1=n 得：11211b b -= 所以321=b 所以13132-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n b（2）1)31(32)12(-⨯⨯-==n n n n n b a c所以：)1()31(98)31(32)12()31(32)12(111-⨯-=⨯⨯--⨯⨯+=---+n n n c c n n n n n因为了 1≥n 所以nn c c ≤+12、 （1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>=+0222n n n a S a 令3,2,1=n 得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>>>++=++=+=+0,0,0)(222)(222222321321321211a a a a a a a a a a a a解得：10,6,2321===a a a（2）将n n S a 222=+两边平方得：n nS a 8)2(2=+ 用1-n 代替n 得：1218)2(--=+n n S a 两式相减得：n n na a a 8)2()2(212=+-+-即：0)2()2(212=+---n n a a 即：0)4)((11=--+--n n n n a a a a 由于0>n a 所以41+=-n n a a所以{}n a 是以2为首项公差为4的等差数列所以24-=n a n3、（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得：⎩⎨⎧=+=+126466311d a d a 解得：⎩⎨⎧-==261d a所以：82+-=n a n)7(2)286(n n n n S n -=-+=（2）令n n n S a b = 所以 n n n b n )7)(82(-+-=解不等式 0)7)(82(<-+-n n n 得：47<>n n 或 所以数列从第8项开始（含此项）以后各项均为负数． 4、（1）由题意得：[])()()1()(1223121a a a a n a a a a n n ----+-=-+=3)1(2-=-+-n n 所以=-+-+=-+=--)4()5()4(21n n a n a a n n n[]927212)4()2()1(6)4()5(0)1()2(6)4()5(0)1()2(21+-=-+--+=-+-+++-+-+=-+-+++-+-+=n n n n n n n n a （2≥n ）上式对1=n 也成立所以 927212+-=n n a n311121)21()42(4)22)(2(2---=⨯=---=-n n n n b b b b所以 3)21(2-+=n n b（2）3232)21(7272121292721---+-=⎪⎭⎫⎝⎛--+-=-=k k k k k k k k k b a c当 3,2,1=k 时 0=kc当4≥k 时21)21(47)274(21)21(47)27(2134232=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--k k k c 故不存在正整数k 使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-21,0k k b a第三课时1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ；设14a =，问23nn n S S S -是否可能为一与n 无关的常数？若不存在，说明理由．若存在，求出所有这样的数列的通项公式．2、已知等比数列{}n a 及等差数列{}n b ，其中01=b ，公差0≠d ，将这两个数列对应项相加得到一个新的数列1,1,2,…,求这个新数列的前10项之和．3、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和.(n ∈N *)．（Ⅰ）若数列{a n }单调递增，且a 2是a 1、a 5的等比中项，证明：.212++=+n n n S S S（Ⅱ）设{a n }的首项为a 1，公差为d ，且)0(231>=d d a ，问是否存在正常数c ，使cS c S c S n n n +=+++++122对任意自然数n 都成立，若存在，求出c (用d 表示)；若不存在，说明理由.4、Ⅰ．已知数列{}n c ，其中n n nc 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ．Ⅱ．设{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．答案：1、设等差数列{}n a 的公差为d ，并假设存在d 使n nn S S S 32-是与n 无关的常数k令k S S S nnn =-32所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+d n n na k d n n na d n n na 2)13(332)1(2)12(22111恒成立 化简得：021)21(3)2329(112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-n d a d a k n kd 对一切自然数n 恒成立所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-0214)214(302329d d k kd 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=182431d k kd解得：739±=d 解得：)739(31±=k故存在等差数列{}n a 使是一与n 无关的常数)1)(739(4-±+=n a n2、设等比数列{}n a 的公比为q由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+=2)2(1)(1012111111d b q a d b q a b a b 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====1210)(01101111d q a b q d a b 或舍去 所以1,21+-==-n b a n n n 所以新数列的前10项的和为9782)90(1012121010=-+--=S3、（1）设等差数列{}n a 的公差为d由题意得：⎩⎨⎧>=05122d a a a 即：⎩⎨⎧>+=+0)4()(1121d d a a d a 解得：12a d =所以 1112)1(a na d n a a n -=-+=12a n S n = 所以122112122)1(4))2(()2()(a n a n a n S S S n n n +-++=-+++0)1(4)1(41212=+-+=a n a n 所以122++=+n n n S S S（2）假设存在正常数c 使得cS c S c S n n n +=+++++122恒成立dn dn d n n nd d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(令1=n ，则有cS c S c S +=+++2312恒成立即：()42)21523(22=+-+++c d c d c d化简得：c d c d c d ++=+21523227两边平方化简得：d c 21=．以下证明当dc 21=时，c S c S c S n n n +=+++++122恒成立．()()()()()()()0222232121112122122212121222212=+-+++=++++-++++++++-+++++dn d n d n d n d n d d n d n d d dn dn cS c S c S n n n 故存在正常数dc 21=使c S c S c S n n n +=+++++122恒成立．4、（1）由题意得：qpc c pc c n n nn =---+11恒成立．对一切正整数n 恒成立（q 为常数）即：()[]11113232)32(32--+++-+=+-+n n n n n n n n p q p化简得：()()03393224211=+--++----pq q p pq q p n n 对一切正整数恒成立 所以：⎩⎨⎧=+--=+--03390224pq q p pq q p 解得：⎩⎨⎧==32q p 或⎩⎨⎧==23q p所以：2=p 或3=p （2）设数列{},n a {}n b 的公比分别为1q 与2q ，21q q ≠并假设数列{},n c 是等比数列，其公比为q则有：()n n n n b a q b a +=+++11 即：1211112111--+=+n n nnqq b qq a q b q a化简得：()()012211111=-+---n n q q q b q q q a即()()02112111=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--q q b q q q q a n 对一切正整数n 恒成立所以：⎩⎨⎧=-=-0)(0)(2111q q b q q a 即：q q q ==21 这与21q q ≠互相矛盾故{},n c 不是等比数列．。