上讲要点:
熟练掌握基本曲面体的三面投影及曲面 立体表面取点的方法。这是本章的一个 基础方法。 充分理解截交和相贯线的几何意义,以 及截交线和相贯线的性质， 熟练掌握求曲面立体截交线的方法。 熟练掌握求(平曲相交)相贯线的方法 掌握直线与曲面立体相交贯穿点的性质 及求解方法
复 椭圆 习 题双曲线 3: 求 圆线 圆 锥 被 切 割 后 的 投 影
螺旋楼梯的画法（右旋）
δ
1. 如同画正螺旋柱状面那样，画出螺 旋楼梯的H投影和内外螺旋线上的各 点（不画出螺旋线）。 2. 从内螺旋先3/4的各点下落梯板竖向 厚度δ；从外螺旋后3/4的各点下落 梯板竖向厚度δ。并将这些点分别 连接，画出内外螺旋线。 3. 按投影关系画出可见踢面（先1/2内 螺旋点及先1/4外螺旋点上升踢面高， 后1/2外螺旋点及后1/4内螺旋点上 升踢面高） 、踏面及梯轮廓线。 4. 判别可见性，加深图线。 轴线右侧踢面可见，轴线左侧 底面可见；先1/2梯内侧面可见，后 1/2梯外侧面可见；轴线右侧踏面积 聚线均可见，轴线左侧先1/4内侧和 后1/4外侧踏面边线可见。
y
C0
y
3 求出若干个一般点
D、E；
4 光滑且顺次地连接 各点，作出相贯线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
a c
b y d e
y
表面取点法
例题2 完成带圆柱孔的圆柱的投影。
a' d' c' e' b' a" b" d" e" c" 解题步骤 1 分析 相贯线的水 平投影和侧面投影已 知，可利用表面取点 法求共有点； y y 2 求出相贯线上的特 殊点A、B、 C； 3 求出若干个一般点 y a c b y
五．相贯线的特殊情况
（1）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆，并 且该圆垂直于公共轴线。 当公共轴线处于投影面垂直位置时，相贯线有一个投影 反映圆的实形，其余投影积聚为直线段；
（2）外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条 平面曲线—椭圆。
当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此 两椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线段，例图。
h
螺旋楼梯的画法（右旋）
δ S
1. 如同画正螺旋柱状面那样，画出螺 旋楼梯的H投影和内外螺旋线上的各 点（不画出螺旋线）。 2. 从内螺旋先3/4的各点下落梯板竖向 厚度δ；从外螺旋后3/4的各点下落 梯板竖向厚度δ。并将这些点分别 连接，画出内外螺旋线。 3. 按投影关系画出可见踢面（先1/2内 螺旋点及先1/4外螺旋点上升踢面高， 后1/2外螺旋点及后1/4内螺旋点上 升踢面高） 、踏面及梯轮廓线。 4. 判别可见性，加深图线。 轴线右侧踢面可见，轴线左侧 底面可见；先1/2梯内侧面可见，后 1/2梯外侧面可见；轴线右侧踏面积 聚线均可见，轴线左侧先1/4内侧和 后1/4外侧踏面边线可见。
7-28.完成四棱锥和圆锥相贯后的投影。
F1
F2
F3
复习题:求半园柱与三棱椎相贯后的投影.
复习题:求半园柱与三棱椎相贯后的投影.
两段椭圆线
两段直线
第十三讲 曲面立体的投影（三） 基本要求
§7-4
两曲面立体的相贯线
§7-5
螺旋楼梯的画法
基本要求
• 本讲也是画法几何学中较难的部分，需要认 真练习。 • 充分理解曲面立体相贯线的性质。 • 掌握用表面取点的方法求相贯线，这是本章 也是本讲的一个基础方法。 • 熟练掌握用辅助平面法求相贯线，这是本章 也是本讲的重点和难点。 • 掌握特殊情况下相贯线的状态。
4
5
根据需要求出若干个一般点。
光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性。
6 最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并 擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
特殊点
特殊点有极限位置点、轮廓转向点、曲线 特征点和结合点四种。 这里转向轮廓线上的转向点并不都是区别 相贯线可见与不可见部分的分界点，只有距离 观察者近的一个曲面立体转向线上的点才是区 别可见性的分界点。
圆线 双曲线 1′ 4′ 3′
抛物线
2′
5′ 6′
1〞 2〞 4〞 (5〞) (6〞) 3〞
1 4 3 5
2 6
求圆锥被切割后的投影
复习题：平面立体与曲面立体相贯，完成相贯后的投影
表面取点法
圆线
解题步骤
1 分析 通常是由立体的积聚 性分析出相贯线的已知投影分 别是什么;再利用表面取点法 或辅助平面法求出相贯线的共 有点； 2 求出相贯线上的若干个特殊 点(通常是在平面立体的棱线 上或曲面立体的轮廓线上)； 3 求出相贯线上的若干个一般 点(取决于是什么相贯线)；
四段直线
2 求出相贯线上的若干个特殊 点(通常是在平面立体的棱线 上或曲面立体的轮廓线上)；
3 求出相贯线上的若干个一般 点(取决于是什么相贯线)； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出相贯线，并且判别可见性；
5 整理轮廓线。
四段椭圆线
7-25.完成圆锥和四棱柱相贯后的投影。
7-26.完成四棱锥和圆柱相贯后的投影。
可见性参考
螺旋扶手（右旋）投影图画法
1. 如同画正螺旋柱状面那样，画出螺旋 楼梯扶手的H投影和扶手顶面内外螺 旋线上的各点（暂不连螺旋线）。 2. 从内螺旋先3/4的各点下落扶手竖向 厚度h；从外螺旋后3/4的各点下落扶 手竖向高度h。并将这些点分别连接 画内、外螺旋线。 3. 画扶手顶面可见螺旋线。扶手顶面先 1/2内螺旋点及后1/4内螺旋点连两段 内螺旋线，后1/2外螺旋点及先1/4外 螺旋点连两段外螺旋线。 4. 判别可见性，加深图线，画扶手轮廓 线，完成全图。 轴线左侧底面可见，轴线右侧顶 面可见；先1/2扶手内侧面可见，后 1/2扶手外侧面可见。（建议加深顺 序：底内螺旋线、底外螺旋线、顶内 螺旋线、顶外螺旋线、直轮廓线）
§15-5
曲面立体相贯
一．相贯线的性质
1 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两 曲面立体表面的共有点。 2 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。 两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下 为平面曲线或直线。
曲面立体相贯线的性质图例
二．曲面立体相贯的三种基本形式
2 圆柱正螺旋面的画法
（1）圆柱正螺旋面（锥状） （2）圆柱正螺旋面（柱状）
3 圆柱正螺旋面的应用
圆柱正螺旋面（锥状）的画法
圆柱正螺旋面（柱状）的画法 •作出该曲面上各素线的投 影；
•画出两条曲导线（圆柱螺 旋线）； •作出直母线的两面投影；
3 圆柱正螺旋柱状面应用举例
螺旋扶手
螺旋楼梯
圆柱正螺旋柱状面应用实例
1 2 两外表面相交； 外表面与内表面相交；
3
两内表面相交。
三．求曲面立体相贯线的方法
求作相贯线时，先求出适当数量的共有点，然后依次光滑 连接而成。求共有点的方法是： （1）若相贯线有一个投影已知，可采用辅助面法或表面取点法作出 ； （2）若相贯线有二个投影已知，可采用表面取点法或由二求三的方 法作出； （3）若相贯线的三个投影均为未知，可采用辅助面法作出； （4）若求轮廓素线上的点，有时须包括轮廓素线作辅助面。 1 2 表面取点法 辅助平面法
(2) (5) 3
1 4
y
辅助平面法
4 光滑且顺次地连 接各点，作出相贯 线，并且判别可见 性； 5 整理轮廓线。
y
用水平面作为辅助平面求共有点
用水平面作为辅助平面求共有点
例题4 求圆球与圆锥的相贯线
PV1
3' 5' 2' 4' 1' 1"
辅助平面法
用水平面作为辅助平面求共有点
PV2 PV3
4" P W2 3" PW3 5"
S
δ
S分理解曲面立体相贯线的性质（共有 性和分界性） 特殊情况下相贯线的状态。 用表面取点的方法求相贯线。 用辅助平面法求相贯线。 了解螺旋楼梯的画法
同学们 圣诞快乐!
§7-4
曲面立体的贯穿点
1、圆柱的贯穿点 2、圆锥的贯穿点 3、圆球的贯穿点
例题1：求直线与圆柱的贯穿点
辅助平面法
1、用辅助平面法求相贯线的作图原理
辅助平面的选择
Q
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面 与两立体表面交线的投影为直线或圆。
四·求相贯线的一般步骤
1 分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对 位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平 面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲 面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线 哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。 3 求出相贯线上的特殊点。
§ 7-6
螺旋线和圆柱正螺旋面
一、 圆柱螺旋线 1 圆柱螺旋线的形成
当一个动点沿着一直线等 速移动，而该直线同时绕与它 平行的一轴线等速旋转时，动 点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。
2 圆柱螺旋线的画法
螺旋线的画法
13′
9′
3′
1′
二、圆柱正螺旋面
1 圆柱正螺旋面的形成
当一直母线沿一条圆柱螺旋线及该圆柱螺旋 线的轴线滑动，并始终平行于与轴线垂直的导平 面而形成的曲面。是锥状面的特例。圆柱正螺旋 面与一个同轴的小圆柱相交，交线依然是一相同 导程的圆柱螺旋线。大小圆柱之间的圆柱正螺旋 面是柱状面的特例，又称正螺旋柱状面，其形成 也可描述为两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运 动的直母线始终垂直于圆柱轴线。
双曲线
直线
4 光滑且顺次地连接各点，作 出相贯线，并且判别可见性；
5 整理轮廓线(棱线及轮廓线 至贯穿点止)。
例题10：平面立体与曲面立 体相贯，完成相贯后的投影