XC
上一页 下一页 返 回
综上所述， 综上所述，电容电路中电压与电流的关系 可由相量形式的欧姆定律
& U
& 来表达， =-j I XC来表达，
电容不消耗功率， 电容不消耗功率，其无功功率是 QC=UI=I2XC=U2/XC。
上一页
下一页
返 回
[例4] 在纯电容电路中，已知 i=22 2 sin(1000t+30°)A， 电容量C=100µF， 求（1）电容器两端电压的瞬时值表达式； （2）用相量表示电压和电流，并作出相量图； （3）求有功功率和无功功率。
& U =220∠120°V
图6 例3的相量图 的相量图
上一页 下一页 返 回
三、 纯电容电路
加在电容元件两个极板上的电压变化时，极板上贮 存的电荷Q=CU就随之而变，电荷量随时间的变化率，就 是流过联接于电容导线中的电流，即
i= dq du =C dt dt
（2） ） （3） ） （4） ）
u=
图9 例4的相量图 的相量图
上一页 下一页 返 回
表1 正弦交流电路中R、L、C元件的电压与电流关系 正弦交流电路中R
上一页
下一页
返 回
作业：3-15，3-16，3-17
上一页 下一页 返 回
XL=2πfL=0 =2π
[例3] 在纯电感电路中，已知i=22 2 sin(1000t+30°)A， 在纯电感电路中，已知i=22 sin(1000t+30°)A， L=0.01H，求（1）电压的瞬时值表达式；（2 L=0.01H，求（1）电压的瞬时值表达式；（2）用相量表示 电流和电压，并作出相量图；（3 电流和电压，并作出相量图；（3）求有功功率和无功功率。
上一页
下一页
返 回
解：（1）已知Im=22 2 A，R=10Ω，所以 Um=ImR=220 2 V 因为纯电阻电路电压与电流同相位，所以 u=220 2 sin(1000t+30°)V （2）
& =22∠30°A I
& U =220∠30°V
相量图如图3所示。 （3）P=UI=220×22=4840W
• 用相量表示电感元件的电压与电流的关 系，则
& U = jX L & I
或
& & & U = jIX L = jIω L
上一页
下一页
返 回
2.电感电路中的功率 电感电路中的功率
• （1）瞬时功率 p=iLUL=ILMsinωt·ULMsin(ωt+90°)=ULILsinωt • （2）有功功率P=0
上一页
下一页
返 回
图3 例1的相量图 的相量图
上一页 下一页 返 回
二、 纯电感电路
• 电压与电流的关系
u=L d (I m sin ωt ) di =L = ωLI m cos ωt = U m sin(ωt + 90°) dt dt
Um U = = Im I
di e = −L dt
u = −e = L
（5）
实验和理论均可证明，电容器的电容C越大，交流电 频率越高，则1/ωC越小，也就是对电流的阻碍作用越小， 我们把电容对电流的“阻力”称作容抗，用XC代表。
1 1 XC = = ωC 2πfC
（6）
式（5）中，频率f的单位为Hz，电容C的单位为法拉 （F），容抗XC的单位仍是欧姆（Ω），XC与电容C和频 率f成反比。当C一定时，电容器具有隔直通交的特性， 当f=0时，XC=∞，此时电路可视作开路，即“隔直”作 用。
解：（1）XL=ωL=1000×0.01=10Ω，Im=22 2 A， （ Um=ImXL=220 2 V 因为纯电感电电压超前电流90°，故 u=220 2 sin(1000t+120°)V。 （2） & =22∠30°A I 相量图见图6。 P=0 Q=UI=220×22=4840var
上一页 下一页 返 回
di dt
（1）
由上式可知： （1）Um=ωLIm，即
=ωL
• 线圈电感L越大，交流电频率越高，则ωL的值 越大，也就是对交流电流的阻碍作用越大，我 们把这种“阻力”称作感抗，用XL代表。 • XL=ωL=2πfL
上一页 下一页 返 回
L为电感量，单位为亨利（H）, f为 为电感量，单位为亨利（ ） 为 为电感量 流过电感的电流频率， 流过电感的电流频率，单位为赫兹 ）；X （Hz）； L是电感元件两端的电压与流 ）； 过电流的比值，单位显然是Ω 过电流的比值，单位显然是Ω
下一页
返 回
电容器两端电压与电流的关系用相量式表示有
& U = − jX C & I
（7）
式（7）不仅表示了电压和电流的大小关系， 如表达式（6）所示，同时表示了纯电容电路 中电压滞后电流90°的关系，我们也可把式（7） 写成
• • & & =−jI X =−jI 1 = I U C ω C jω C
相量图如图3.22所示。 （3）P=0，QC=UI=220×22=4840var。
上一页 下一页 返 回
交流电路中的电压与电流的关系（大小和相位） 交流电路中的电压与电流的关系（大小和相位）有一 定的规律性，是容易掌握的。 定的规律性，是容易掌握的。先将上面介绍的三种分立 元件在正弦交流电路中的电压与电流的关系列入表1中 元件在正弦交流电路中的电压与电流的关系列入表 中， 以帮助大家总结和记忆。 以帮助大家总结和记忆。
上一页
下一页
返 回
(a) 瞬时值表示
(b) 相量表示
上一页 下一页 返 回
图4 纯电感电路
（2）由式（1）还可看到电感两端电压超前电流 ）由式（ ） 相位90° 弧度） 相位 °（或π/2弧度） 弧度
（a）波形图 (b) 相量图 (c) 瞬时功率图 ） 图5 纯电感电路的波形图与相量图
上一页 下一页 返 回
上一页 下一页 返 回
i
+ u _ R
(a) 瞬时值表示
(b) 有效值表示
图1 纯电阻电路
上一页 下一页 返 回
（a）波形图 (b) 相量图 (c) 瞬时功率图 ） 图2 纯电阻电路的波形图与相量图
上一页 下一页 返 回
2.电路中的功率 电路中的功率
• 电路任一瞬时所吸收的功率称为瞬时功率，以 p表示。 p=ui=Umsinωt·Imsinωt =
2 L
U • （3）无功功率 QL = I LU L = I X L = XL 式中，QL——电路的无功功率，单位为乏 （var）或千乏（kvar）； UL——线圈两端电压的有效值（V）； IL——流过线圈电流的有效值（A）； XL——线圈的感抗（Ω）。
上一页 下一页 返 回
2 L
[例2] 一线圈的电感量L=0.1H，将其分别接于（1） 直流；（2）交流50Hz；（3）交流1000Hz交流 电路中，试分别求该电感线圈的感抗XL。 解：（1 解：（1）f=0 （2）f=50Hz XL=2πfL=2×3.14×50×0.1=31.4Ω =2πfL=2×3.14×50×0.1=31.4Ω （3）f=1000Hz XL=2πfL=2×3.14×1000×0.1=328Ω =2πfL=2×3.14×1000×0.1=328Ω 由此例可见电感量一定时，频率越高，则 电感对电流的阻碍作用越大，即感抗X 电感对电流的阻碍作用越大，即感抗XL越大。
上一页 下一页 返 回
(a) 瞬时值表示 图7 纯电容电路
(b) 相量表示
上一页
下一页
返 回
（2）式（4）还告诉我们通过电容的电流与它的端 电压是同频率的正弦量，电流超前于电压90°（或 π/2弧度）。
（a）波形图 ） （b）相量图 ） （c）瞬时功率图 ） 图8 纯电容电路的波形图与相量图
上一页
2
U·
2 Isin
2ωt
=UI(1-cos2ωt)=UI-UIcos2ωt • 通常所说的功率是指一个周期内电路所消耗 （吸取）功率的平均值，称为平均功率或有功 功率，简称功率，用P表示。
1 T U2 2 UI(1 − cos 2ωt )dt = UI = I R = P= 0 T R
∫
上一页
下一页
上一页
下一页
返 回
解：（1）
XC =
1 1 = = 10Ω −6 ，Im=22 ωC 1000 ×100 ×10
2A，
Um=ImXc=220 2 V。 因为纯电容电路中电压滞后电流90°，所以 u=220 2 sin(1000t-60°)V （2）
& I =22∠30°A
& U
=220∠-60°V
此式也可以写成
i=C
1 ∫ idt C
d (U m sin ω t ) du =C = ωCU mω t = I m sin(ω t + 90°) dt dt
如图7所示的电容器两端加上正弦电压u=Umsinωt， 则在回路中就有电流
上一页 下一页 返 回
由上式可知： （1）Im=ωCUm 即
Um U 1 = = Im I ωC
返 回
• 综上所述，电阻电路中的电压与电流的 关系可用相量形式的欧姆定律 U = I R 来表 示，电阻消耗的功率与直流电路有相似 的公式，即
● ●
P = UI = I R = U R
2 2
上一页
下一页
返 回
例题： 例题：
[例1] 在纯电阻电路中，已知 i=22 2 sin(1000t+30°)A，R=10Ω， 求：（1）电阻两端电压的瞬时值表达式； （2）用相量表示电流和电压，并作出相量图； （3）求有功功率。
正弦交流电路中电压 与电流的关系