§5 线性变换的矩阵表示式
上节例10中，关系式
()T x Ax
=
()n x R ∈
简单明了地表示出n R 中的一个线性变换. 我们自然希望n
R 中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即
()n i Ae i i ,,2,1 ==α， 可见如果线性变换T 有关系式()Ax x T =，那么矩阵A 应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换T 使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么T 必有关系式
()11122(),
,()
n n n T x T e e x T x e x e x e ==++
+⎡⎤⎣⎦
1122()()()
n n x T e x T e x T e =++
+
()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax
αα===
总之，n R 中任何线性变换T ，都能用关系式
()()n R x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =.
把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有
定义7 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基
n αα,,1 ，如果这个基在变换T 下的象（用这个基线性表示）为
11112121212122221122(),(),(),
n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=++
+⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪
=++
+⎩
记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为
11(,,)(,,)n n T A αααα=， （5） 其中
1111
n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪=
⎪ ⎪⎝⎭，
那么，A 就称为线性变换T 在基n αα,,1 下的矩阵 .
显然，矩阵A 由基的象()()n T T αα,,1 唯一确定.
如果给出一个矩阵A 作为线性变换T 在基n αα,,1 下的矩阵，也就是给出了这个基在变换T 下的象，那么根据变换T 保持线性关系的特性，我们来推导变换T 必须满足的关系式：
n
V 中的任意元素记为
i
n
i i x αα∑==1，有
1
1
()()
n
n
i i i i i i T x x T ααα====∑∑
121((),
,())n n x x
T T x αα⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
121(,
,)n n x x A x αα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，
即
112211(,,)(,,)n n n n x x x x T A x x αααα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪
⎢
⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
（6）
这个关系式唯一地确定一个变换T ，可以验证所确定的变换T 是以A 为矩阵的线性变换.总之。

以A 为矩阵的线性变换T 由关系式（6）唯一确定.
定义7和上面一段讨论表明，在n V 中取定一个基以后，由线性变换
T 可唯一确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可唯一地确定一个线性变换T ，这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系.
由关系式（6），可见α与()αT 在基n αα,,1 下的坐标分别为
112
2,(),
n n x x x x T A x x αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即按坐标表示，有 ()ααA T = .
例11 在3][x P 中，取基 321234,,,1,
p x p x p x p ====
求微分运算D 的矩阵 .
解
21123421234312341123430300,
20020,10001,00000,
Dp x p p p p Dp x p p p p Dp p p p p Dp p p p p ⎧==+++⎪
==+++⎪⎨
==+++⎪⎪
==+++⎩
所以D 在这组基下的矩阵为
0000300002000
010A ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
.
例12 在3
R 中，T 表示将向量投
影到xOy 平面的线性变换，即
()T xi yj zk xi yj ++=+ ，
（1） 取基为k j i ,,，求T 的矩阵；
（2） 取基为k j i j i ++==,,βα，求T 的矩阵 . 解 （1）
,,0,Ti i Tj j Tk =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
即
100(,,)(,,)010000T i j k i j k ⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭ （2）
,
,T i T j T i j ααββγαβ==⎧⎪
==⎨⎪=+=+⎩
即
()()101,,,,011000T αβγαβγ⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
由上例可见，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，一般地，我们有
定理 3 设线性空间n V 中取定两个基:n n ββαα,,,,,11 ,由基
n αα,,1 到基n ββ,,1 的过度矩阵为P ，n V 中的线性变换T 在这两个基下
的矩阵依次为A 和B ，那么
1
B p Ap -=. 证 按定理的假设，有
11(,,)(,,),n n p p ββαα=可逆；
及
11(,,)(,,)n n T A αααα=，
11(,,)(,,)n n T B ββββ=， 于是
[]
111(,,)(,
,)(,,)n n n B T T p ββββαα== []11(,
,)(,
,)n n T p Ap
αααα==
11(,
,)n p Ap
ββ-=，
因为n ββ,,1 线性无关，所以
1B p Ap
-=
证毕
这定理表明B 与A 相似，且两个基之间的过度矩阵P 就是相似变换矩阵.
例13 设2V 中的线性变换T 在基
21,αα下的矩阵为
11122122a
a A a a ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，
求T 在基21,αα下的矩阵.
解 :
211201(,)(,),
10αααα⎛⎫
= ⎪⎝⎭
即
0110P ⎛⎫= ⎪
⎝⎭ ， 求得
101,
10P -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
于是T 在基21,αα下的矩阵为
1112212222212122111212
11010101101010a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
定义8 线性变换T 的象空间()n V T 的维数，称为线性变换T 的秩. 显然，若A 是T 的矩阵，则T 的秩就是()A R .,若T 的秩r ,则T 的核r
S 的维数为n r -.
“线
性变换与矩阵的一一对应”
的最佳匹配结果
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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