第六章 狭义相对论1. 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。
证明：根据题意，不妨分别取固着于两参考系的直角坐标系，且令t =0时，两坐标系对应轴重合，计时开始后，'∑系沿Σ系的x 轴以速度v 作直线运动，根据伽利略变换有：vt x x -='，y y ='，z z ='，t t ='1）牛顿定律在伽利略变换下是协变的以牛顿第二定律22dt d m x F =为例，在Σ系下，22dtd m xF =Θvt x x -='，y y ='，z z ='，t t ='∴''']',','[],,[22222222F x x F ==+===dtd m dt z y vt x d m dt z y x d m dt d m 可见在'∑系中牛顿定律有相同的形式22''dt d m x F =，所以牛顿定律在伽利略变换下是协变的。
2）麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的以真空中的麦氏方程t ∂-∂=⨯∇/B E 为例，设有一正电荷q 位于O 点并随'∑系运动，在'∑系中q 是静止的，故:r r qe E 20'4'πε=， （1）0'=B （2）于是方程'/'''t ∂-∂=⨯∇B E 成立，将（1）写成直角分量形式：])'''(')'''(')'''('[4''23222'23222'232220z y x z y x z z y x y z y x x q e e e E ++++++++=πε 由伽利略变换关系，在∑中有：y x z y vt x yz y vt x vt x qe e E 23222232220])[(])[({4++-+++--=πε }])[(23222z z y vt x ze ++-+ ])()()[(])[(34232220z y x y vt x vt x z z y z y vt x q e e e E --++-+-++--=⨯∇∴πε可见E ⨯∇不恒为零。
又在Σ系中观察，q 以速度x v e 运动，故产生电流x qv e J =，于是有磁场R qv πμ2/0=B ，（R 是场点到x 轴的距离）此时，有0/=∂∂-t B ，于是t ∂-∂≠⨯∇/B E 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。
2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。
求站在一根尺上测量另一根尺的长度。
解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是)/1/(2'22c v v v += （1）∴在1'∑系中测量2'∑系中静长为0 l 的尺子的长度为220/'1c v l l -= （2）将（1）代入（2）即得：)/1/()/1(22220c v c v l l +-= （3）此即是在1'∑系中观测到的相对于2'∑静止的尺子的长度。
3. 静止长度为l 0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u 0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。
解：根据题意取地面为参考系S ，车厢为参考系S ’，于是相对于地面参考系S ，车长为220/1c v l l -=， （1）车速为v ，球速为)/1/()(200c v u v u u ++= （2）所以在地面参考系S 中观察小球由车后壁到车前壁l t v t u +∆=∆所以)/(v u l t -=∆ （3）将（1）（2）代入（3）得：220200/1)/1(cv u c v u l t-+=∆ （4）4. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。
求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。
设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。
铁塔到建筑物的地面距离都是l 0。
解：取地面为静止的参考系∑，列车为运动的参 考系'∑。
取 x 轴与 x ′轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为∑系与'∑的原点，如图。
在∑系中光经过c l t /0=的时间后同时照亮左右两塔,但在'∑系中观察两塔的位置坐标为)/1(/1/1'220220c v c v l c v vt l x --=--=右)/1(/1/1'220220c v cv l c v vtl x +--=---=左即：)/1(/1'220c v c v l d --=右,)/1(/1'220c v cv l d +--=左 时间差为2220/12''cv c vl c d c d t -=-=∆右左5. 有一光源S 与接收器R 相对静止，距离为0l ,S-R 装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射率n ）中。
试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。
（1）液体介质相对于S-R 装置静止； （2）体沿着S-R 连线方向以速度v 运动； （3）液体垂直于S-R 连线方向以速度v 运动。
解：（1）液体介质相对于S-R 装置静止时，cnl t 01=∆ （2）液体沿着S-R 连线方向以速度v 运动时，取固着于介质的参考系为'∑，'∑系沿x 轴以速度v 运动,在'∑系中测得光速在各个方向上均是c/n,由速度变换关系得在∑系中沿介质运动方向的光速为：cnv vn c v /1/'++=∴R 接收到讯号的时间为vn c l cn v t ++=∆/)/1(02 （3）液体垂直于S-R 连线方向以速度v 运动，取相对于S-R 装置静止的参考系为Σ系,相对于介质静止的系为'∑系,建立坐标系如图。
在'∑系中 v u x -='22)/(v n c u y -=' ∴在Σ系中测得y 方向上的速度为：222222222222/1)/(/)(1/1)/(/1/1c v v n c c v v c v v n c c v u c v u u xy y --=-+--='+-'= 222203)/(/1vn c c v l t --=∆6. 在坐标系∑中，有两个物体都以速度u 沿x 轴运动，在∑系看来，它们一直保持距离l不变，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？ 解：根据题意，取固着于观察者上的参考系为'∑系,又取固着于A B 两物体的参考系为"∑系.在∑中,A B 以速度 u 沿 x 轴运动,相距为l ；在"∑系中,A B 静止相距为l 0，有：220/1c u l l -=∴ 220/1cu ll -=又'∑系相对于∑以速度v 沿 x 轴运动，"∑系相对于∑系以速度u 沿x 轴运动， 由速度合成公式"∑系相对于'∑系以速度2/1'c uv v u v --=沿'x 轴运动，所以，在'∑系中看到两物体相距222220/1/1/'1'c uv c v l c v l l --=-=7. 一把直尺相对于Σ坐标系静止，直尺与x 轴交角θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴交角θ'有何变化？ 解：取固着于观察者上的参考系为'∑在∑系中 θcos l l x =，θsin l l y =在'∑系中 2222/1cos /1'c v l c v l l x x -=-=θθsin 'l l l y y ==22/1/'/''c v tg l l tg x y -==∴θθ8. 两个惯性系∑和'∑中各放置若干时钟，同一惯性系的诸时钟同步。
'∑相对于∑以速度v沿x 轴方向运动。
设两系原点相遇时，000='=t t 。
问处于∑系中某点(x ,y ,z )处的时钟与'∑系中何处时钟相遇时,指示的时刻相同?读数是多少?解：设∑系中),,(z y x P 点与'∑系中的)',','(z y x Q点相遇时,两系的钟读数分别为t 和't 。
首先,要相遇必定满足：y y ='，z z ='；其次，在∑系看来，相遇时：vt c v x x +-=22/1' （1） 在'∑系看来，相遇时：'/1'22vt c v x x --= （2） 并且 t t =' （3）将（2）、（3）代入（1）得：t c v v c x )/11)(/(222--= （4） 又由（2）可得：x t c v v c x -=--=)1/1)(/('222 （5） 将'x x -=用于（1）或（2）得P 、Q 相遇的时刻为：)/11)(/('22c v v x t t -+==9. 火箭由静止状态加速到c v 9999.0=，设瞬时惯性系上加速度为2s m 20||-v ⋅=&,问按照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间?解：(1)在静止系中加速火箭,令静止系为∑系,瞬时惯性系为'∑系,且'∑相对于∑系的速度为u ，由题意可知u v v ,,&同向,令此方向为x 轴方向,由x 方向上的速度合成得到火箭相对于∑系的速度为：2/'1'cuv uv v ++=其中'v 是火箭相对于'∑系的速度。
所以在∑系中火箭的加速度为222322)/'1()/1('d /d -+-==c uv c u a t v a （1）'d /'d 't v a =本题中-2s m 20'⋅=a ，而'∑系相对于火箭瞬时静止，即v u =，0'=v ，代入（1）得2322)/1('d /d c v a t v -= （2）⎰⎰=-∴-tvt a v c v 02322d 'd )/1( （3）t a cv v '/122=-56.47209999.0100/1'22==-=cc v a vt 年在'∑系看来，火箭相对于∑系的加速度为)/1(')/'1)(/1(''d /d 222222c v a c uv c u a t v -=+-=- （4）⎰⎰=-∴-'122'd 'd )/1(t vt a v c v （5）''ln 2t a vc v c c =-+ 52.29999.019999.01ln '2ln '2'=-+=-+=a c v c v c a c t 年10. 一平面镜以速度v 自左向右运动，一束频率为0ω，与水平线成0θ夹角的平面光波自右向左入射到镜面上，求反射光波的频率ω及反射角θ。