第十五章狭义相对论基础一、基本要求1. 理解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。

2. 了解洛仑兹变换及其与伽利略变换的关系；掌握狭义相对论中同时的相对性，以及长度收缩和时间膨胀的概念，并能正确进行计算。

3. 了解相对论时空观与绝对时空观的根本区别。

4. 理解狭义相对论中质量和速度的关系，质量和动量、动能和能量的关系，并能分析计算一些简单问题。

二、基本内容1.牛顿时空观牛顿力学的时空观认为，物体运动虽然在时间和空间中进行，但时间的流逝和空间的性质与物体的运动彼此没有任何联系。

按牛顿的说法是“绝对空间，就其本性而言，与外界任何事物无关，而永远是相同的和不动的。

”，“绝对的，真正的和数学的时间自己流逝着，并由于它的本性而均匀地与任何外界对象无关地流逝着。

”以上就构成了牛顿的绝对时空观，即长度和时间的测量与参照系无关。

2．力学相对性原理所有惯性系中力学规律都相同，这就是力学相对性原理（也称伽利略相对性原理）。

力学相对性原理也可表述为：在一惯性系中不可能通过力学实验来确定该惯性系相对于其他惯性系的运动。

3. 狭义相对论的两条基本原理（1）爱因斯坦相对性原理：物理规律对所有惯性系都是一样的，不存在任何一个特殊的（例如“绝对静止”的）惯性系。

爱因斯坦相对论原理是伽利略相对性原理（或力学相对性原理）的推广，它使相对性原理不仅适用于力学现象，而且适用于所有物理现象。

（2）光速不变原理：在任何惯性系中，光在真空中的速度都相等。

光速不变原理是当时的重大发现，它直接否定了伽利略变换。

按伽利略变换，光速是与观察者和光源之间的相对运动有关的。

这一原理是非常重要的。

没有光速不变原理，则爱因斯坦相对性原理也就不成立了。

这两条基本原理表示了狭义相对论的时空观。

4. 洛仑兹变换()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='2222211c u xc u t t z z y y c u ut x x （K 系->'K 系）()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=2222211c u x c u t t z z y y c u t u x x （K 系->'K 系） 令u c β=，γ=①当0→β，γ=1得ut x x -='，,',','t t z z y y ===洛仑兹变换就变成伽利略变换。

②u >c ,21β-<0，洛仑兹变换失去意义。

故相对论指出，物体运动速度不能超过真空中光速。

③在狭义相对论中洛仑兹变换是两条基本假设的直接结果。

5. 狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观认为，时间和空间有密切的联系，时间、空间与物质运动是不可分割的，根本不存在脱离了物质运动的绝对时间和绝对空间。

其中包括同时的相对性，长度的收缩，时间的延迟等都反映了狭义相对论的时空观。

（1）同时性的相对性在某惯性系中同时发生的两个事件，在另一相对它运动的惯性系中并不一定同时发生。

如两事件在K 系中同时异地的发生，在'K 系中的观察者观测这两事件必定不是同时发生的。

由洛仑兹变换式可得''21t t -=2122121)()(β----x x c t t u显然，21t t =，12x x ≠, 则''210t t -≠，两事件在'K 系中不同时发生。

所以同时性是相对的。

（2）时间膨胀一个事件所经历的时间的量度也与参照系有关。

若一事件在K 系中s x =处发生，起始于1t 时刻、终止于2t 时刻、经历时间为12t t t -=∆。

定义在相对于事件发生的地点为静止的参照系（如K 系）中测得的时间间隔为固有时（或原时），用120t t -=τ。

则在相对K 系匀速运动的'K 系中测得此时间间隔为'''12t t t -=∆，称't ∆为运动时，用τ表示，则由洛仑兹变换式得运动的钟变慢的公式21βττ-=显然τ>0τ，称为运动的时钟变慢或时间膨胀效应。

时间膨胀是一种相对论效应，不是钟的内部结构有了什么变化。

若在'K 系中测得时间为0τ，则在K 系中测得时间间隔为τ，仍有21βττ-=，这与第一条基本假设一致。

在v <<c 时，0ττ=，与牛顿绝对时空观相符。

（3）长度收缩设一固定在K 系中的物体，它沿x 轴的长度，在K 系测得为12x x l -=（K 系相对于物体沿x 方向无相对运动），l 称为该物体的固有长度。

则在相对K 系沿x 方向相对匀速运动的'K 系中，在某时刻't 测得该物体长度12'''x x l -=（应在同时测出21','x x ），则有21'β-=l l即'l <l 。

这个效应称为长度收缩。

注意：①长度收缩为一相对论效应，物体运动速度越大，此效应越显著。

当v <<c 时，l l ='，收缩效应几乎显示不出来。

②在与相对速度υ垂直方向上l l =' ，即与相对速度垂直的方向上无长度收缩效应。

③一般说来，这个长度收缩效应用肉眼很难看到。

因为用肉眼看物体时，除有相对论效应外，还有光学效应。

6. 质量与速度的关系201β-=m m注意：①物体的运动质量m 与物体相对观察的运动速度v 相关。

此处m 与经典力学中变质量问题不同。

②当v <<c ，0m m →，回到经典力学中，可认为质量与物体运动无关。

③光子的静止质量00=m 。

7. 相对论力学的基本方程⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=201βv F m dt d上式当v <<c ，又回到牛顿第二定律。

8．质量和能量关系物体的静止能量200c m E =（物体相对于观察者静止时的能量） 物体的运动能量2mc E =（物体相对于观察者以υ的速度运动时的能量） 相对论动能202c m mc E k -= 质能关系式2mc E =，200c m E = 9．动量和能量关系4202220222c m p c E p c E +=+= 式中p 为动量，相对论动量 201β-=v p m上式具有极重要的意义，它反映了动量和能量间的关系，也反映了动量和能量的不可分割性和统一性，如同时间与空间的不可分割性与统一性一样。

如光子，,00=m 但光子动量为c E p =，光子的质量2cEm =。

三、习题选解15-3 一质点在惯性系'S 中作匀速圆运动，轨迹为0',''222==+z a y x （1） 试证明对另一惯性系S （S 以速率u 沿'x 正向相对于'S 运动）中观察者来说，这一质点的运动轨迹为一椭圆，椭圆的中心以速率u 运动;（2） 若不考虑相对论效应，又将如何？解：（1）S 以速率u 沿'x 正向相对于'S 运动，根据洛仑兹变换 21'β-+=ut x x y y ='代入222''a y x =+ 得22222)1()(a y ut x =+-+β1)1()(22222=+-+ay a ut x β 故对惯性系S 中的观察者，质点运动轨迹为椭圆，半长轴和半短轴分别为a 和21β-a ，椭圆中心以速率u 运动。

（2）若不计相对论效应，把ut x x +='和y y ='代入222''a y x =+得222)(a y ut x =++在S 系中观察者看仍为圆，圆心以速率u 运动。

15-4 设'S 系相对于S 系以速率c u 8.0=沿x 轴正向运动，在'S 系中测得两个事件的空间间隔为m x 300'=∆，时间间隔为s t 6100.1'-⨯=∆，求S 系中测得两个事件的空间间隔和时间间隔。

解：设S 系中两事件的坐标为（11,t x ）和（22,t x ），在'S 系中两事件的坐标为（11','t x ）和（22','t x ），根据洛仑兹变换)''()''(112212ut x ut x x x x +-+=-=∆γγ '')''()''(1212t u x t t u x x ∆+∆=-+-=γγγγ221'c ux -∆=+221'c u t u -∆把c u s t m x 8.0,100.1',300'6=⨯=∆=∆-代入上式m m m x 900400500=+=∆'')''()''(2121222x cu t x c u t x c u t t ∆+∆=+-+=∆γγγγs s s 66610310333.110666.1---⨯=⨯+⨯=15-5 在宇宙飞船上的人从飞船后面向前面的靶子发射一颗高速子弹，此人测得飞船长m 60，子弹的速率是c 8.0，求当飞船对地球以c 6.0的速率运动时，地球上的观察者测得子弹飞行的时间是多少？解：以飞船为参照系S '，飞船长度,60'''12m x x x =-=∆子弹射中靶子的飞行时间为,8.0608.0''cc x t =∆=∆以地面为参照系S ，子弹飞行的时间为 )''()''(12122212x c ut x c u t t t t +-+=-=∆γγ'')''()''(212212x cut x x c u t t ∆+∆=-+-=γγγγ ')6.0(1)6.0(1122222x c cc u t c c ∆-+∆-=710625.4-⨯=s15-6 一短跑选手，在地球上以s 10的时间跑完m 100，在飞行速率为c 98.0的飞船中观察者看来，这选手跑了多长时间和多长距离？设飞船运动与选手奔跑同方向。

解：以地球为参照系S ，选手跑过的距离m x x x 10012=-=∆，所用时间为s t t t 1012=-=∆,飞船速率,98.0c u =由洛仑兹变换，以飞船为参照系S '，选手跑了的距离为)()('''112212ut x ut x x x x ---=-=∆γγt u x t t u x x ∆-∆=---=γγγγ)()(1212 =m t u x c c 10221048.1)()98.0(11⨯-=∆-∆-选手用的时间为 )()('''12122212x cu t x c u t t t t ---=-=∆γγ s x c ut c c 25.50)()98.0(11222=∆-∆-=15-7 设想有一艘飞船，以c u 8.0=的速率在地球上空飞行。