y y

0

x
z= r cos
x
P
( 0 ≤ r <+ , 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 2 )
球面坐标的三组坐标面： r =常数
z

=常数
=常数 ( x, y, z ) r 2 sin (r , , ) d x d y d z = r 2 sin d r d d
柱面坐标
柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrddz
球面坐标
x r cos , y r sin , z z. x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
球面坐标的体积元素
三重积分习题课
当 R3，有 X=(x, y, z) , d = dv 则 z
dz dy dx
f ( x, y, z )dv

三重积分

1. 直角坐标系下三重积分的计算
直角坐标系下，记体积元素 d v =d x d y d z
y 则
x 0
f ( x, y, z )dv f ( x, y, z )dxdydz
dy x2 y 2 f ( x, y, z )dz
1
z
Dxz
解2：先对 y 积分， 将 向 xz 平面投影：
z= x2+y2
z=1
y y z x2 z x2
1 1 0
y
Dxy: x2 ≤z ≤ 1, 1 ≤x≤1 z= x2+y2
2 y z x

柱面 y x及平面y=0, z=0, x z
z
z

2
所围闭区域

2
x
解： D: 0≤ y ≤

,x 0 ≤ x ≤
2

x
y cos(x z )dxdydz,
dxdy
D
0
y

2 0
x
y cos(x z )dz

x
y
y x
02 dx 0 dy 02 y cos(x z )dz
x=x1(y, z)
f ( x, y, z )dxdydz


D yz
dydz x ( y , z )
1
x2 ( y , z )
f ( x, y, z )dx
例3. 将 f ( x, y, z )dxdydz 化为三次定积分，其中

是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.
与三个坐标面所围闭区域.

解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1
z
x+y+z=1
xdxdydz dxdy 0

D
1 x y
xdz
0 dx 0 dy 0
0 y
1
1 x
1 x y
1 xdz 24
y
1 D
x+y=1
x
x
1
例2. 计算 y cos(x z )dxdydz, 其中 是由抛物
dxdydz r 2 sin drdd
dxdy z ( x , y ) f ( x, y, z )dz
D
1
z2 ( x , y )
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dx
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z)dz
例1. 计算 xdxdydz , 其中是由平面x+y+z=1
z
z=1
z= x2 +y2
解：先对 z 积分，将 向 xy 平面投影.
z= x2+y2 z=1 x2+y2=1 z=1
y
0 x
Dxy
1
D: x2+y2≤1
z z=1
z= x2 +y2 y 0
x
Dxy
1
f ( x, y, z )dxdydz
1
1 dx
1 x 2 1 x 2
0
x
y
z dz
1
z2
D( z )
f ( x, y, z )dxdy
:(x, y)D(z), z1≤z≤z2
例4. 计算 zdxdy, 其中 是由 z=x2+y2 和 z=1

所围成的闭区域.
z 1 D(z) y x

解：D(z): x2+y2≤z z[0, 1] ( z ) 2 z
z
解： x2+y2+z2=a2 r=a
z
y
x y
2
2


4
.
原积分
r 2 r 2 sin drdd
*

a
x
z
0 d
y

2

4 sin 0
d
a 4 r dr 0
a
x
1 5 a (2 2 ) 5
小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
x
f ( x, y, z )dxdydz 1 dx x

1
1
2
dz
z x2 z x2
f ( x, y, z )dy
Case2. 化为一个二重积分和一个定积分
z z2 z
z2 D(z)

f ( x, y, z )dxdydz

z [
1
z2
D( z )
f ( x, y, z )dxdy]dz
y x
0
1
zdxdydz zrdrddz
*
rdrd
D 2
1 r 2
0
zdz
d rdr
0 0
1
1
1r 2
0
zdz
(1 r 2 ) 2 r dr 0 2 4
4、利用球面坐标计算三重积分
z z
•M r
M (r, ,) x=OPcos = r sin cos y= OPsin = rsin sin
zdxdydz 0 zdz dxdy
D( z )
1
0
1
0 z zdz
1
z 3 0 3
3 1
3、利用柱面坐标计算三重积分
z z
•
0
M (r, , z)
M
y
x = r cos y = r sin y
x x

r
z=z
(0 ≤ r <+ , 0 ≤ ≤ 2 , < z<+ )
f ( x, y, z )dxdydz

y x
f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2sindrdd
*
例7.
2 2 2 ( x y z )dxdydz, 其中Ω 是由z
x2 y2
和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域.

Case1. 化成一个定积分和一个二重积分
z
z=z 2 ( x, y)
f ( x, y, z )dxdydz

y
z =z 1 ( x, y) D
0 a y=y1 ( x)
[
D
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f (x, y, z )dz ]dxdy
y=y2 ( x) b
柱面坐标的三组坐标面分别为
z
r=常数
=常数
z=常数
o
y
计算公式
x
f ( x, y, z )dxdydz f (r cos , r sin , z )rdrddz
*
2 2 2 2 z x y z x y d x d y d z , 其中 由 例5. 计算
2

x
D
0
x
1 16 2
2
z
Dxz y=y1 ( x, z) y=y2 ( x, z)
0
y
x

f ( x, y, z )dxdydz


Dxz
dxdz y ( x, z )
1
y2 ( x , z )
f ( x, y, z )dy
z

Dyz y 0
x
x=x2(y, z)
2
r
2
1
1
0
0
r
2 2 ( 1 r ) 2 2 r dr 0 15 2 1
z
z=1
z=r
y
0 x
D
1
例6. 计算 zdxdydz , ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.

解： D: x2+y2≤1
z 1 r 2
z
z 1 x2 y2 z 1 r 2

与 z=1 所围闭区域.
解：
z
z=1
z
x2 y2
z =1 x2 y2 1

z=r
y
z =0
D: x2+y2≤1
z x 2 y 2 z =r
0