2013—2014学年下学期期中考试高二理科数学试题班级 姓名 学号本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
注:所有题目在答题卡上做答第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．函数x x x f cos )(2=的导数为（ ） A. x x x x x f sin cos 2)(2'-=B.x x x x x f sin cos 2)(2'+=C. x x x x x f sin 2cos )(2'-=D.x x x x x f sin cos )(2'-=2. 复数3－i1－i等于 ( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i3. dxx e x )2(1+⎰等于（ ）A ．eB ．1e -C ． 1D ．1e +4.设x x x x f ln 42)(2--=，则()0f x '>的解集为( ) A.),0(+∞ B. (1,0)(2,)-⋃+∞ C. (2,)+∞ D.(1,0)-5. 若复数i a a z )1(12-+-=是纯虚数，则｜z ｜= ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6.函数()f x 的导函数为()f x '，满足关系式()()2=32ln f x x xf x'++，则()2f '的值等于（ ）A.2B.2-C.94D.94-7. 对于函数233)(x x x f -=，给出下列四个命题：①)(x f 是增函数，无极值； ②)(x f 是减函数，有极值；③)(x f 在区间]0,(-∞及),2[+∞上是增函数；④)(x f 有极大值为0，极小值4-；其中正确命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.48.下列命题错误的是 ( )A.命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为“若,1≠x0232≠+-x x 则” B. “2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件C. 对于命题,01,2<++∈∃x x R x p 使得：则 均有,:R x p ∈∀⌝012≥++x x D. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题9． 在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.48i +B.82i +C. 4i +D. 24i +10. 已知命题:,23x x p x R ∀∈<；命题32:,1q x R x x ∃∈=-，则下列命题中为真命题的是 ( )A.p q ∧B.p q ∧⌝C.p q ⌝∧D.p q ⌝∧⌝ 11．如图)(x f y =的导函数的图象，现有四种说法：(1))(x f 在(－3,1)上是增函数 ； (2)x ＝－1是f(x)的极小值点；(3)()f x 在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； (4)x ＝2是()f x 的极小值点；以上正确的序号为 ( ) A. (1) (2) B. (2) (3) C. (3) (4) D. (4)12.函数3()1f x x ax =-+在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ＞3C ． a ＜3D ．a ≥3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
）13．若函数3()3f x x x =-,则函数()f x 在]2,0[上的最小值 为 .14．如图阴影部分是由xy 1=,x y =2与直线x ＝2, y ＝0围成，则其面积为________．15. 已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __. 16．观察下列等式_ 233332333233104321.6321.321=+++=++=+根据上述规律，第五个式子为 .三、解答题（本大题共6题，70分，请写出必要的解答过程）。
17．（本题10分）计算曲线322+-=x x y 与直线3+=x y 所围图形的面积．18.（本题12分）已知复数R m i m m m m z ∈-++-+=,)2()232(22根据下列条件，求m 值。
（1）z 是实数； （2）z 是虚数； （3）z 是纯虚数； （4）z ＝019．（本题12分）如图在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，N M ,分别是BC PA ,的中点，且1==AD PD .(1)求证：MN ∥平面PCD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PBD ； (3)求三棱锥ABC P -的体积．20（本题12分）.设1)(23+++=bx ax x x f 的导函数)(x f '满足,)2(,2)1(b f a f -='=' （1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; （2）设x e x f x g )()('=，求函数)(x g 的单调区间.21. （本题12分） 函数()cx bx ax x f ++=23的极小值为-8，其导函数的图象过点()⎪⎭⎫⎝⎛-0,32,0,2，如图所示：（1）求()x f 的解析式；(2)若对[]3,3-∈x 都有()m m x f 142-≥恒成立，求实数的m 取值范围.22. （本题12分）已知函数21()(21)2ln (0)2f x ax a x x a =-++≥.(1)当 0a =时，求()f x 的单调区间； (2)求()y f x =在区间(0,2]上的最大值.2-322013-2014学年下学期期中考试 高二(理科)数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACACBDBDDCBA二、填空题（每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16答案 -21217 .68)(23+-+=x x x x f 233333321654321=+++++ 三．解答题17. [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92.18.(1)m=1 或m=-2 (2)m 21-≠≠m 且（3）21=m（4）m=-219. (1)取AD 中点E ，连接ME ，NE ，由已知M ，N 分别是PA ，BC 的中点，所以ME ∥PD ，NE ∥CD ，又ME ，NE ⊂平面MNE ，ME ∩NE ＝E ， 所以平面MNE ∥平面PCD ， 所以MN ∥平面PCD .(2)证明 因为ABCD 为正方形， 所以AC ⊥BD ， 又PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AC ， 所以AC ⊥平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD .(3)PD ⊥平面ABCD ，所以PD 为三棱锥P —ABC 的高，三角形ABC 为等腰直角三角形，所以三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝16.20.（1）切线方程是0823=-+y x(2)单调增区间：），），（∞+--∞12,(单调减区间：()1,2-21．22. （Ⅰ） 0,a =()2ln f x x x =-,22()1(0)xf x x x x -'=-=>在区间(0,2)上,()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<,故()f x 的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,)+∞.（Ⅱ） 2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >. (1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >①当0a =时,由（Ⅰ）知()f x 在(0,2]上单调递增,故在(0,2]上max ()(2)2ln 22f x f ==- ②当102a <≤时,12a≥, 在区间(0,2)上,()0f x '>；故()f x 在(0,2]上单调递增 故在(0,2]上max ()(2)2ln 222f x f a ==--③当12a >时,102a <<,在区间1(0,)a 上,()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<, ()f x 在1(0,]a 上单调递增,在1[,2]a上单调递减,故在(0,2]上max 11()()22ln 2f x f a a a==---.。