第二学期高二数学（理）期中考试卷
考生须知:
1. 本卷满分120分, 考试时间100分钟. 附加题分10分，超过120分记120分；
2. 答题前, 在答题卷密封区内填写班级、班级序号、姓名和考试号.
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.
一、选择题 (本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1．复数z ＝2－i
2＋i
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
２．定义在R 上的两个可导函数f(x)与g(x)，若()()f x g x ''=，则f(x)与g(x)满足（ ）
A ．f(x)=g(x)
B ．f(x)-g(x)为常数函数
C ．f(x)=g(x)=0
D ．f(x)+g(x)为常数函数 3、函数3
2
()f x x bx cx d =+++图象如图， 则函数2
233
c
y x bx =+
+的单调递增区间为（ ） A ．]2,(--∞ B ．]3,2[- C ．),2
1
[+∞ D ．),3[+∞ 4、若函数x x a x f 3sin 31sin )(+
=，在3
π
=x 处有极值，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．
23
D ．0 5、因指数函数x
a y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )3
1(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ） A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错
C ．推理形式错导致结论错
D ．大前提和小前提都错导致结论错
6、类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2
x x
a a s x --=，
()2
x x a a c x -+=
，其中a>0，且a ≠1，下面正确的运算公式是（ ）
①s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)； ②s(x-y)=s(x)c(y)-c(x)s(y)； ③c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y)； ④c(x-y)=c(x)c(y)+s(x)s(y)； A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．①②③④
7、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有多少种 ( )
（A ）1440 （B ）960 （C ）720 （D ）480
－2
3
y x
第3题
8、已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．11b -<<
Ｂ．0b > Ｃ．1b >
Ｄ．1b <-或1b >
9、已知点P 是曲线1
3+-=x x e e y 上一动点，点P 处的切线的倾斜角为α，则α∠的最小值是（ ）
A ．0
B ．
4π C ．43π
D ．
3
2π
10、面积为S 的平面凸边形的第i 条边的边长记为a i (i=1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i
条边的距离记为h i (i=1,2,3,4)，若
43214321a a a a =
===k ，则h 1+2h 2+3h 3+4h 4=k
s
2；类比以上性质，体积为v 的三棱锥的第i 个面的面积S i (i=1,2,3,4)，若三棱锥内任一点Q 到第i 个面距离
记为H i (i=1,2,3,4)，若4
3214321S
S S S ====K ，则H 1+2H 2+3H 3+4H 4的值为（ ）
A ．K
V 4 B ．K
V 3 C. K
V 2 D. K
V
二．(本大题有7小题, 每小题4分, 共28分)
11．若22(232)(2)k k k k i --+-是纯虚数，则实数k 的值等于 ． 12、在△ABC 中，sinA>sinB 是A>B 成立的 条件
13、复数134z i =+，2z t i =+，且1z 的共轭复数与2z 的积是实数，则实数t 的值为 ． 14．安排5名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不第一个出场,另一名歌手不最后一个出场,不同排法的总数是 .(用数字作答).
15、已知可导函数)(x f ，有x xf x f ln )1('2)(+=，则)1('f = ．
16、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有 .(用数字作答). 17、函数x x mx x f 2ln 2
1)(2
-+=
在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 . 三、解答题（本大题有4小题, 共52分）
18．（本题满分12分） 已知函数1
3)(+=
x x x f ,数列{}n a 满足).)((,111*
+∈==N n a f a a n n (Ⅰ)求证：数列{
1
n
a }为等差数列，并求出{}n a 的通项公式； (Ⅱ)记13221++++=n n n a a a a a a S ,求n S .
19．（本题满分13分）
函数c bx ax x x f +++=2
3)(，过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为
23+=x y .
(1)若)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式； (2)在(1)的条件下，求)(x f y =在[－3,1]上的最大值；
(3)若函数)(x f y =在区间[－2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围．
20．（本题满分12分）
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g ”.
（1）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。
求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。
（2）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.
21．（本题满分15分）
设函数f(x)=(1+x)2－2ln(1+x). (1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x ∈[1e -1，e-1]时 (其中e=2.718…)，不等式f(x)<m 恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)试讨论a 的取值范围，使关于x 的方程：f(x)=x 2+x+a 在区间[0，2]上有两根.
附加题: （本题满分10分）
已知函数 f(x)=alnx-ax-3(a ∈R)． (Ⅰ) 若a ＞0，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数y= f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率是1，问： m 在什么范围取值时，对于任意的t ∈[1,2]，函数g(x)=x 3+x 2[
()2
m
f x '+]在区间(t,3)上总存在极值？。