第3讲-湍流运动方程
4
因此，一般将流体运动的N - S方程作为湍流运动的基 本方程，即湍流场内任一空间点的速度、压强及密度 等的瞬时值都必须满足该方程。 尽管有学者对这一模型产生质疑，也曾试图另辟蹊径 ，寻找其它数学模型，但都没有令人信服的证据和结 果。而基于 N-S方程所得到的一些理论、计算结果和 实验结果吻合得很好。
2 u u ui uk p i i u f j i 2 x j xi 3 xi x j t xk ui D 0 Dt xi
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雷诺应力
雷诺应力的量级
雷诺应力的估计
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粘性应力的估计 两者之比
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雷诺应力方程（3）
雷诺应力方程
雷诺应力方程的推导
脉动方程
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雷诺应力方程
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雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程
雷诺应力方程的各项
3
湍流流体仍属于连续介质！
较高Re数下，湍流场中存在很小的湍流运动尺度, 但 该尺度远大于分子的平均自由程。因此，流体可被 视为连续介质。 在与最小湍动尺度相当的 距离及与最小脉动周期相 近的时间内, 湍流场内的 物理量连续变化, 即空间 和时间上可微，可用常规 方法建立数学模型。
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笛卡尔坐标下
u v w ＝0 t x y z
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张量下标形式
ui 0 t xi
或
u D i 0 Dt xi
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NS方程（4）
运动方程
不可压缩流动的方程简化
N-S方程-雷诺方程=脉动方程
N-S方程
雷诺方程
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脉动பைடு நூலகம்程
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雷诺应力方程（1）
雷诺应力
-
?r
ui ' u j ' > ¶xj
慢 层 质 点 上 跃
u'< 0
快 层 质 点 下 跃
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u'> 0
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雷诺应力方程（2）
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涡量输运方程（1）
涡量
涡量的定义
涡线
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涡量
涡量输运方程（2）
涡通量
涡通量守恒
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涡量输运方程（3）
涡量方程
涡量的平均方程和脉动方程
涡量输运方程
涡量平均方程
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高等流体力学
第3讲 湍流运动方程
宋 丹
浙江大学海洋学院 Ocean College, Zhejiang University
wanzhanhong@ DOSE, Zhejiang University
内容
N-S方程
− − − − 湍流与N-S方程 连续性方程、运动方程 雷诺方程 脉动方程
生成项 再分配项
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扩散项
耗散项
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雷诺应力方程（5）
湍动能方程
生成项
湍动能
扩散项
耗散项
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湍流标量的输运方程
标量方程
温度输运方程
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具有被动性！
涡量脉动方程
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涡量输运方程（4）
涡量方程
拟涡能 生成项
脉动量的拟涡能
扩散项
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耗散项
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涡量的输运方程
− 涡量、涡量方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
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湍流标量方程
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N-S方程（1）
湍流与N-S方程
湍流能用N-S方程描述吗？
− 脉动的产生是否是因为质点的平均运动特性无法得到满足？ − 连续性假设是否成立？
ui ui 2 ui 1 p uj fi 2 t x x x j i j ui 0 xi
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NS方程（5）
雷诺方程
NS方程的平均化处理：
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NS方程（6）
脉动方程
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NS方程（2）
物理原理 反映流体物质的特性
− 流体的本构方程 − 流体的状态方程
反映普适规律
− 物质守恒定律 − 牛顿运动定律 − 能量守恒定律
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NS方程（3）
连续性方程
三维连续性方程
N-S方程自身的复杂性
− 一般情况下， N-S方程关于初、边值问题的解的存在性和唯一 性尚未完全得到证明，只有在极苛刻的条件下才存在唯一解
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− 定常方程：存在解，但只有小雷诺数解才是唯一的 − 非定常二维方程：存在唯一解 − 非定常三维方程：小雷诺数时存在唯一解；大雷诺数时情况比 较复杂：只在一定时间内存在唯一解；雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小
