第11章动量矩定理、是非题（正确的在括号内打“√”、错误的打“X”）1. 质点系对某固定点（或固定轴）的动量矩，等于质点系的动量对该点（或轴）的矩。

2. 质点系所受外力对某点（或轴）之矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。

3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。

4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。

5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。

6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中， 以对质心轴的转动惯量为最大。

d i n7. 质点系对某点的动量矩定理 L='、M O （F i e）中的点O ”是固定点或质点系的质心。

dt i J8.如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB,对转轴的转动惯量为1 2 2 ml mr ,式中m 为AB 杆的质量。

3 9.当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有-L P 八MP （F i e）不需附加任何条件。

10.平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主 矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。

、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。

2. 质量为m ,绕Z 轴转动的回旋半径为 匚 则刚体对Z 轴的转动惯量为J Z m<2。

3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为 质点系的动量。

4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的 内力无关。

5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零,质点系的动量对 X 轴的动量矩守恒的条件是 质点系所受的全部外力对X 轴之矩的代数(× )(√)(√) (√) (× ) (× )(√)2J o=J A mr的形式，而l图 11.23和等于零。

6.质点M质量为m ,在Cy 平面内运动， 如图11.24所示。

其运动方程为x = acoskt , y =bsin kt ,其中a 、b 、k 为常数。

则质点对原点 0的动量矩为L o = abk 。

8•均质T 形杆，OA = BA = AC = l ,总质量为m ,绕0轴转动的角速度为 「，如图11.26 所示。

则它对 0轴的动量矩L O =ml 2∙°9.半径为R ，质量为m 的均质圆盘，在其上挖去一个半径为 r = R/2的圆孔，如图11.27所示。

则圆盘对圆心 0的转动惯量J O= !^mR 2。

3210.半径同为R 、重量同为G 的两个均质定滑轮， 一个轮上通过绳索悬一重量为 Q 的重物，另一轮上用一等于 Q 的力拉绳索，如图11.28所示。

则图11.28(a)轮的角加速度 M =g)U Q(b)7.如图 A 自由转动, 质量为M 。

11.25所示，在铅垂平面内，均质杆 OA 可绕点0自由转动，均质圆盘可绕点 杆 OA由水平位置无初速释放，已知杆长为 I ,质量为m ;圆盘半径为 R ，1 2OCl 时，杆OA 对点O 的动量矩L O =-ml OCl ;圆盘对点3则当杆转动的角速度为 O 的动量矩图 11.262Qg (G 2Q)R ;图11.28(b)轮的角加速度 -2Qg 2 GR LA=O 。

(a)图 11.28三、选择题小球离开A 点运动。

不计摩擦力，则此系统运动过程中 B3.跨过滑轮的轮绳，一端系一重物，另一端有一与重物重量相等的猴子，从静止开始 以速度V 向上爬，如图11.31所示。

若不计绳子和滑轮的质量及摩擦，则重物的速度B(A)等于V ，方向向下 (B)等于V ，方向向上 (C)不等于V(D)重物不动4. 在图11.32中，摆杆OA 重量为G ，对O 轴转动惯量为J ,弹簧的刚性系数为 k ，杆在铅垂位置时弹簧无变形。

则杆微摆动微分方程为D (设Sin V - V)。

1.均质杆AB ,质量为m ,两端用张紧的绳子系住，绕轴 则杆AB 对O 轴的动量矩为A 。

5 2 13 2 4 2(A) -ml ⑷ (B) —ml 时 (C) -ml6 12 32•均质圆环绕Z 轴转动，在环中的 A 点处放一小球，如图 O 转动，如图11.29所示。

(D)丄ml1211.30所示。

在微扰动下, (A) .不变，系统对 (B) ■改变，系统对 (C) .不变，系统对 Z 轴的动量矩守恒Z 轴的动量矩守恒 Z 轴的动量矩不守恒Z 轴的动量矩不守恒(A) J = ka 幻-Gbr (C) -J J- -kaS -Gb J(B) J J -ka 2r Gb^(D) -J r -kaS -Gb J图 11.315.在图11.33中，一半径为图 11.29R 。

质量为(1)轮上作用一顺时针的力偶矩为M的力偶；(2)轮心作用一大小等于M/R的水平向右的力F。

若不计滚动摩擦，二种情况下 C 。

(A) 轮心加速度相等，滑动摩擦力大小相等(B) 轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小相等(C) 轮心加速度相等，滑动摩擦力大小不相等(D) 轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小不相等6.如图11.34所示组合体由均质细长杆和均质圆盘组成，均质细长杆质量为M i,长为L,均质圆盘质量为 M2,半径为R ,则刚体对O轴的转动惯量为AM1 2 1 2 2(A) J o 1L M2R M2(R L)3 2(B) J O=M I L2 1M2R2M2(R L)212 2M1 . 2 1 2 2(C) J 0 L M 2R ,ιM 2L3 2M1 2 1 2 2(D) J01L2M2R2M2R23 211-1各均质物体的质量均为m ,物体的尺寸及绕固定轴转动角速度方向如图11.35所示。

试求各物体对通过点O并与图面垂直的轴的动量矩。

解：(a)杆OA对通过点O并与图面垂直的轴的动量矩为L Q=J oml3(b)圆盘对通过点 Q 并与图面垂直的轴的动量矩为1 2L Q = JQ mR ■ ■2 (C) 圆盘对通过点 Q 并与图面垂直的轴的动量矩为1 2 2 3 2L Q =J Q =(2 mR 亠 mR ) mR ■11-2如图11.36所示，鼓轮的质量m 1 = 1800kg ，半径r =0.25m ，对转轴O 的转动惯量 J o =85.3kg m 2。

现在鼓轮上作用力偶矩 M 。

=7.43kN m 来提升质量 m^2700kg 的物体A 。

试求物体 A 上升的加速度，绳索的拉力以及轴承 O 的反力。

绳索的质量和轴承的摩擦都忽略不计。

解：(1)选整体为研究对象，受力分析如图所示。

应用质点系动量矩定理，有2(J Q m 2r ) ; = M 0 -m 2gr解得鼓轮转动的角加速度为M 0 -m 2gr 7430 -2700 9.8 0.25 2 0岑 23.21(rad ∕s 2)J Q m 2r 2 85.3 2700 0.252 物体A 上升的加速度为2a A =r ； - 0.8(m∕s )A 为研究对象，受力分析如图所示。

应用质点运动微m 2a = F T- m 2g解得绳索的拉力为F T=m 2g m 2a =2700 9.82700 0.8 =28.62(kN)O 的反力，可选鼓轮为研究对象，受力分析如图所示。

应用质心运动定(2)要求绳索的拉力，可选物体 分方程，有(3)要求轴承 理，有解得F QX =0， F oy —mιg —F T =0IF QX =0， F Q^mlgFT图 11.37图 11.3611-3半径为R ,质量为m 的均质圆盘与长为I 、质量为M 的均质杆铰接，如图 11.37 所示。

杆以角速度ω绕轴O 转动，圆盘以相对角速度 ω绕点A 转动，(1) ω = o；(2) ω = -ω, 试求系统对转轴 O 的动量矩。

解：系统对转轴 O 的动量矩是由杆对转轴 O 的动量矩和圆盘对转轴 O 的动量矩两部分组成。

杆对转轴 O 的动量矩为1 2LO 杆 Ml :.■?3=ω时，圆盘转动的绝对角速度为ωa = ω -■ ∙r =2 ω11-4两小球C 、D 质量均为 定在轴AB 上，CD 与轴AB 的夹角为二，如图11.38所示。

轴以角速度 对转轴AB解：杆(1)当 ωr 圆盘对转轴 的动量矩为L O 圆盘1 2 2 2mR a 「mv A I = -mR ml2 故系统对转轴 O 的动量矩为(2)当1 2 2 2L O = LO 杆 L O 圆盘 Ml 』：「mR 』：-ml ，3ω = -ω时，圆盘转动的绝对角速度为=0ωa = ω '∙'∖'r圆盘对转轴O 的动量矩为1 2L O 圆盘=_2 mR a2-mv A I - -ml ，故系统对转轴 O 的动量矩为1 2 2Ml ■：：. —ml ， 3m ,用长为2l 的均质杆连接，杆的质量为 M ,杆的中点固ω转动，试求系统LO= L O 杆 . LO 圆盘的动量矩。

CD 对转轴AB 的动量矩可表示为L O 杆=J ■MdX (XSin B)2 3 5 =- Ml ⅛ Sin 2 日-21 3球C 、D 对转轴AB 的动量矩可表示为mvR = mV —R而v= R, V^ '—,代入上式，有2R故：=4 .,即小球M 在半径M'C 丄一的水平圆上运动瞬时小球的转速为2n' = 4n = 480(r ∕min)11-6 一直角曲架ADB 能绕其铅垂边 AD 旋转，如图11.40所示。

在水平边上有一质量 为m 的物体C,开始时系统以角速度■ .0绕轴AD 转动，物体C 距D 点为a ,设曲架对AD 轴的转动惯量为J Z ,求曲架转动的角速度-■与距离DC =r 之间的关系。

解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。

从受力图可以看出，系统所受的全部外力 对Z 轴的矩等于零。

系统对 Z 轴的动量矩也保持不变，即(J Z ma 2∖ ^=(J Z mr 2) ■解得曲架转动的角速度 ■与距离DC =r 之间的关系为J z +ma 2Z厂’0 J z +mr11-7电动机制动用的闸轮重为 W(可视为均质圆环)，以角速度■ -0绕轴转动，如图11.41 所示。

已知闸块与闸轮间的滑动摩擦系数为f,闸轮的半径为 r,它对O 轴的转动惯量为J Q =mr 2,制动时间为t 。

，设轴承中的摩擦不计。

求闸块给闸轮的正压力 F N 。

解：选闸轮为研究对象，受力分析如图( b)所示。

我们可以应用动量矩定理来计算闸 块给闸轮的正压力 F N 。

先计算制动后闸轮的角加速度，由运动学可知：；.-;0 ■ t 0 =0可知制动后闸轮的角加速度为R 2 4图 11.38ACO21Dt o t o式中负号表明真实的角加速度的转向与图中假设的转向相反, 应用动量矩定理，有J Or 二—F d r 而F d= fF N ,代入上式，可解得闸块给闸轮的正压力F Wr ci OF N Z 即闸轮作减速转动。