(b)
第2篇 工程运动学基础
第4章 运动分析基础
4－1 小环A 套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R （如图所示）。
已知小环的初速度为v 0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜2
π，试确定小环
A 的运动规律。
解：R
v a a 2
n
sin ==θ，θ
sin 2R v a =
θ
θtan cos d d 2t
R v a t
v a =
==，⎰⎰=t v v t R v v 02d tan 1d 0θ t v R R v t s v 00tan tan d d -==θθ
⎰⎰-=t s t t v R R v s 0000d tan tan d θθ
t
v R R R s 0tan tan ln tan -=θθθ
4－2 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的 1．⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=225.1324t t y t
t x ， 2．⎩⎨⎧==t y t x 2cos 2sin 3
解：1．由已知得 3x = 4y （1） ⎩
⎨⎧-=-=t y t x
3344 t v 55-=
⎩
⎨⎧-=-=34y x
5-=a 为匀减速直线运动，轨迹如图（a ），其v 、a 图像从略。
2．由已知，得
2arccos 21
3arcsin y x =
化简得轨迹方程：29
4
2x y -=
（2）
轨迹如图（b ），其v
、a 图像从略。
4－3 点作圆周运动，孤坐标的原点在O 点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为
22
1
Rt s π=，式中s 以厘米计，t 以秒计。
轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。
当点第一次到达y 坐标值最大的位置时，求点的加速度在x
和y 轴上的投影。
解：Rt s v π== ，R v a π== t ，222
n Rt R
v a π==
y 坐标值最大的位置时：R Rt s 2
212ππ== ，12=∴t
R a a x π==t ，R a y 2π-=
A
习题4－1图
习题4－2图
习题4－3图
e e -t (c)
e e -t υ (b)
R t R +υ (a)
习题4-6图
4－4 滑块A ，用绳索牵引沿水平导轨滑动，绳的另一端绕在半径为r 的鼓轮上，鼓轮以匀角速度ω转动，如图所示。
试求滑块的速度随距离x 的变化规律。
解：设t = 0时AB 长度为l 0，则t 时刻有：
220
2
20
)arctan arctan (r x l r r x r l r t --=--+ω
对时间求导：
2
22
22r x x x r x x x r r --
=--
ω
2
2
r
x rx x
--=ω
4－5 凸轮顶板机构中，偏心凸轮的半径为R ，偏心距OC = e ，绕轴O 以等角速转动，从而带动顶板A 作平移。
试列写顶板的运动方程，求其速度和加速度，并作三者的曲线图像。
解：（1）顶板A 作平移，其上与轮C 接触点坐标： t e R y sin ω+=（ω为轮O 角速度）
t e y
v cos ωω== t e y a sin 2ωω-== （2）三者曲线如图（a ）、（b ）、（c ）。
4－6 绳的一端连在小车的点A 上，另一端跨过点B 的小滑车车绕在鼓轮C 上，滑车离地面的高度为h 。
若小车以匀速度υ沿水平方向向右运动，试求当θ = 45°时B 、C 之间
绳上一点P 的速度、加速度和绳AB 与铅垂线夹角对时间的二阶导数θ
各为多少。
解：1．∵P 点速度与AB 长度变化率相同
2
221)(d d 2221
22v
x h x x x h t v P =
+⋅=+= （θ= 45°，x = h 时） 2．同样：h
v h x x h x x t v
a P P 2222)(d d 2
222=
=+== （∵0=x
，x = h ） 3．h x =
θtan ，h
x
1tan -=θ
222
211x h x h h
x x h +=+= θ 2222222)(2h
v x h x hx -=+-= θ（顺）
4－7 图示矢径r 绕轴z 转动，其角速度为 ω，角加速度为 α。
试用矢量表示此矢径端点M 的速度、法向加速度和切向加速度。
习题4－4图
习题4-5图
x
y
ωt
解：r ωr v ⨯==t M d d
)(d d r ωωr αv ωr ωv
a ⨯⨯+⨯=⨯+⨯==M M M t
r αa ⨯=t M
v ωr ωωa ⨯=⨯⨯=)(n M
4－8 摩擦传动机构的主动轮I 的转速为n ＝600r/min ，它与轮II 的接触点按箭头所示的方向移动，距离d 按规律d ＝10-0.5t 变化，单位为厘米，t 以秒计。
摩擦轮的半径r ＝5cm ，R ＝15cm 。
求：（1）以距离d 表示轮II 的角加速度；（2）当d ＝r 时，轮II 边缘上一点的全加速度的大小。
解：
（1）302nr d πω=，d
nr 302πω=
2
22250305.0560030d d d d nr πππα=⨯⨯=-= rad/s 2 （2）592203025004
4
44242
2
2
=+=+=n r r r a ππωαcm/s 2
4－9 飞机的高度为h ，以匀速度v 沿水平直线飞行。
一雷达与飞机在同一铅垂平面内，
雷达发射的电波与铅垂线成θ 角，如图所示。
求雷达跟踪时转动的角速度ω 和角加速度α与h 、v 、θ 的关系。
解：h vt =θtan
h v =θθ2c o s
，θθ
ω2cos h
v == θθθθωα222
c o s 2s i n 2s i n h
v h v -=-==
4－10 滑座B 沿水平面以匀速v 0向右移动，由其上固连的销钉C 固定的滑块C 带动槽杆OA 绕O 轴转动。
当开始时槽杆OA
求槽杆的转动方程、角速度和角加速度。
解：b
t v 0tan =ϕ，b
t v 0arctan =ϕ rad
2
2020t
v b bv +=
=ϕω rad/s
222023
0)
(2t v b t b v +-==ωα
4－11．设ω 为转动坐标系Axyz 的角速度矢量，i 、j 、k 为动坐标系的单位矢量。
试证明：
习题4-8图
v
习题4-9图
习题4-10图
k j i j i k i k j ω⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅
+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=t
t t d d d d d d
证：x t ω=⋅=⋅⨯=⋅i ωk j ωk j
)(d d
y t ω=⋅=⋅⨯=⋅j ωi k ωi k
)(d d k t
ω=⋅=⋅⨯=⋅k ωj i ωj i
)(d d ∴等式右侧ωk j i =++=z y x ωωω
证毕。