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高中数学导数的计算

高中数学导数的计算
1.求下列函数的导数: (1)y=x x;(2)y=log31x;(3)y=2-x; (4)y=log2x2-log2x;(5)y=-2sin2x(1-2cos24x).
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求下列函数的导数. (1)f(x)=13ax3+bx2+c; (2)f(x)=xln x+2x; (3)f(x)=xx+-11; (4)f(x)=x2·ex.
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• [题后感悟] 求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程,关键是 确定切线的斜率,即函数在x=x0处的导数值,然后用点斜式 写出切线方程,研究其有关性质.
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• 本节总结 • 1.求导数的方法 • (1)定义法:运用导数的定义来求函数的导数. • (2)公式法:运用已知函数的导数公式及导数的四则运算法 则求导数.
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• 作业布置 • 课本课后习题
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y′= y′=μxμ-1 y′=axln_a
y=ex
y′=ex
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原函数
导函数
y=logax(a>0,a≠1,x>0) y=ln x
y′=xln1 a y′=1x
y=sin x
y′=cos x
y=cos x
y′=-sin x
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• 3.导数的四则运算法则 • 设f(x)、公g式(x)是可导的.Leabharlann • A.-9B.-3
• C.9
D.15
• 解析: y′=3x2,故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3, 故切线方程是y-12=3(x-1),令x=0得y=9.
• 答案: C
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求曲线 y=x+ x在点(1,2)处的切线在 x 轴上的截距.
解答本题可先运用求导法则求出 y′,进而求出 y′|x=1, 再用点斜式写出切线方程,令 y=0,求出 x 的值,即为切线 在 x 轴上的截距.
是否有更简便的求导数的方法呢?
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带着问题看课本: 1,基本初等函数的导数公式是什么? 2,导数的运算法则是什么? 3,如何利用公式和法则进行简单的计算

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• 2.基本初等函数的导数公式 原函数
导函数
y=C
y′=0
y=xn(n为自然数) y=xμ(x>0,μ≠0,μ为有理 数) y=ax(a>0,a≠1)
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2.求下列函数的导数.
(1)y=x·tan x;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(3)y=xx2++33;(4)y=xsin x-co2s x;
(5)y=
x5+
x7+ x
x9;
(6)y=x-sin2xcos2x.
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• (2011·山东高考)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴 交点的纵坐标是( )
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高铁是目前一个非常受欢迎的交通工具,既低碳又快 捷.设一高铁走过的路程 s(单位:m)关于时间 t(单位:s)的 函数 s=f(t)=2t2,求它的瞬时速度,即求 f(t)的导数.根据 导数的定义,就是求当 Δt→0 时,ΔΔst所趋近的那个定值,运 算比较复杂,而且,有的函数如 y=sin x,y=ln x 等很难运 用定义求导数.
语言叙述
常数与函数积的导数, 等于常数乘以函数的导数
gfxx′=gxf′xg-2xfxg′x (g(x)≠0)
两个函数商的导数等于 分母上的函数乘上分子的导 数,减去分子乘以分母的导 数所得的差除以分母的平方
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求下列函数的导函数: (1)y=x12;(2)y=x14;(3)y=5 x3; (4)y=2sin2xcos2x;(5)y=log12x;(6)y=3x.
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注意导数公式和导数法则的应用,先化简再求导数.
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• [题后感悟] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数的四 则运算法则可迅速解决一些简单的求导问题.要透彻理解函 数求导法则的结构特点,准确记忆公式,还要注意挖掘知识 的内在联系及其规律. • (2)在求较复杂函数的导数时,首先利用代数或三角恒等变 形对已知函数解析式进行化简变形.如,把乘积的形式展开 ,分式形式变为和或差的形式,根式化为分数指数幂,然后 再求导,这样可减少计算量.
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• [总结] (1)应用导数的定义求导,是求导数的基本方法, 但运算较繁琐,而利用导数公式求导数,可以简化求导过程 ,降低运算难度,是常用的求导方法. • (2)利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选 择求导公式,有时还要先对函数解析式进行化简整理,这样 能够简化运算过程.
语言叙述
[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
两个函数的和(或差)的导数, 等于这两个函数的导数的 和(差)
两个函数的积的导数,等于 第一个函数的导数乘上第二个函 数,加上第一个函数乘上第二个 函数的导数
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公式 [Cf(x)]′=C f′(x)
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• 3.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在(2,-1)处 的切线方程为y=x-3,求a,b,c的值.
解析:
由题意知a4+a+b+2bc+=c1=-1
① ②
又∵y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b,
∴y′|x=2=4a+b=1.

由①②③解得 a=3,b=-11,c=9.
• 导数的计算
高中数学导数的计算
• 1.掌握基本初等函数的导数公式. • 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则. • 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
高中数学导数的计算
• 1.导数公式表的记忆.(重点) • 2.应用四则运算法则求导.(重点) • 3.利用导数研究函数性质.(难点)
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