专题06比较大小（解析版）
在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分. 比较大小易错点
易错点1：比较大小时，对指数函数，对数函数，和幂函数的性质记忆模糊导致失误。

常用的指对数变换公式：
（1）n
m m
n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N
-= （3）()log log 0,1,0n
a a N n N a a N =>≠>
（4）换底公式：log log log c a c b
b a
=
进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m n
a a n N N m
= 易错点2：混淆对数的符号
如何快速判断对数的符号---八字真言“同区间正，异区间负”
（1）如果底数和真数均在（0，1）中，或者均在（1，+∞）中，那么对数的值为正数； （2）如果底数和真数一个在（0，1）中，一个在（1，+∞）中，那么对数的值为负数. 易错点3：没有选中合适的中间量
利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 题组一
1.(2016全国III)已知432a =，344b =，13
25c =，则（ ） A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<
【解析】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，且幂函数13
y x =在R 上单调递增，
指数函数16x
y =在R 上单调递增，所以b a c <<，故选A ．
2.（2013新课标）设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）
A. a b c >>
B.b c a >>
C.a c b >>
D.c b a >>
【解析】法1：33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+，
由下图可知D 正确．
法2： 332
1
log 61log 21log 3
a ==+=+
， 5521
log 101log 21log 5b ==+=+， 7721
log 141log 21log 7
c ==+=+
， 由222log 3log 5log 7<<，可得答案D 正确． 题组二
3.（2019全国Ⅰ理3）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 【解析】依题意
22log 0.2log 10
a ==＜， 0.20
221b ==＞，
因为0.3000.20.21=＜＜， 所以0.3
0.201c =∈（，），
所以a c b ＜＜.故选B ．
4.已知,,a b c 均为正数，且a a
2
1log 2=1122211,log ,log 22b c
a a
b
c ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A.a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<
【解析】如图，在平面直角坐标系中画出函数
122
12,log ,,log 2x
x y y x y y x ⎛⎫
==== ⎪⎝⎭的图像，
可得a b c << 题组三
★5．若a b >，则( ) A ．()0ln a b -> B ．33a
b < C ．330a b -> D ．||||a b >
y
x
1
c
b a x =2
O
【解析】取0,1,a b ==-()ln ln10,a b A -==则排除
011
33133,,3
a b B -==>==排除
()3
333011,a b C =>-=-=故对，
01,a b D =<=排除,故选C
6.(2016全国I) 若101a b c >><<，，则（ ） A.c c a b < B.c c ab ba < C.log log b a a c b c
<
D.log log a b c c
<
【解析】选项A ，考虑幂函数c
y x =，因为0c >，所以c
y x =为增函数，又1a b >>，所
以c
c
a b >，A 错．对于选项B ，c
c
ab ba <()c
b
b a
a ⇔<
，又()x
b y a
=是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C ．
7．（2017新课标Ⅰ）设x y z ，，为正数，且235x
y
z
==，则（ ） A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z <<
【解析】设235x
y
z
k ===，因为,,x y z 为正数，所以1k >，
则2log x k =，3log y k =，5log z k =， 所以
22lg lg 3lg 9
13lg 23lg lg8
x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ， 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32
x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ．
★8．(2018全国卷Ⅲ)设3.0log 3.0log 22.0==b a ，，则( ) A ．0<<+ab b a B ．0<+<b a ab C ．ab b a <<+0 D ．b a ab +<<0 【解析】由0.2log 0.3a =得
0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31
log 2b
=， 所以
0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a b
ab
+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．
题组四
9．（2019全国Ⅲ理11）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( )
A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>
B ．233
231(log )(2)(2)4f f f -->>
C ．23
3
2
31(2)(2)(log )4f f f -
-
>> D ．23
3
231(2)(2)(log )4
f f f -->>
【解析】 ()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log )(log 4)4
f f =，
因为33log 4log 31>=，2303
2
02
2
21--<<<=，所以233
2
302
2
log 4-
-
<<<，
又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233
2
31(2)(2)(log )4
f f f -->>. 故选C ． 10.（20152）设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，0)1(=-f ，当0x >时，
'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A.(,1)(0,1)-∞-U
B.(1,0)(1,)-+∞U
C.(,1)(1,0)-∞--U
D.(0,1)(1,)+∞U 【解析】令()
()f x h x x
=
，因为()f x 为奇函数，所以()h x 为偶函数，由于 2
()()
()xf x f x h x x
'-'=
，当0x >时，'()()xf x f x - 0<，所以()h x 在(0,)+∞ 上单调递减，根据对称性()h x 在(,0)-∞上单调递增，又(1)0f -=，(1)0f =， 数形结合可知，使得()0f x >成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-U ．。