作用线距简化中心O的距离
d MO FR
MO
O
FR'
（a)Biblioteka OFR d FR O' FR
(b)
O d
O' FR
(c)
13
(b) FR // MO
空间力系 第四章
原力系简化成力螺旋，即力与力偶作用面垂直。例如
力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。
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空间力系 第四章
(c) FRMO
这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此，在一般的情 况下空间任意力系可合成为力螺旋。
1
§3-3 空间力偶
空间力系 第四章
1. 概念 力偶是力系的基本元素。由一对等值、反向不共线的力组成。
两力线距离d力偶臂。其作用面称旋转平面。 力偶对空间任意点的合力矩为M=Fd，称力偶矩。 力偶矩有两个要素：大小M=Fd ；方向（右手螺旋法则）。
M F'
d
F
2
2. 空间力偶的矢量表达式
6
例题
空间力系 第四章
工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力
偶矩均为80 N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx， My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。
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解：
空间力系 第四章
将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。可得
M x M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1 N m M y M 2 80 N m M z M1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1 N m
若空间任意力系可以合成为一个合力时,则其合力对于任 一点或轴之矩等于力系中各力对于同一点或轴之矩的矢量
和或代数和,即空间力系合力矩定理
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3 主矢F’R ≠ 0，主矩MO≠0
空间力系 第四章
此时分三种情况讨论。
(a) FR MO
可进一步简化成一合力
合力的大小和方向与主矢相等，
FR FR
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空间力系 第四章
Fn
An
F2
F1 m2
m1
mn F2
M 0
F0
Fn
A1 F1 A2
FR0 F' F F'R
与平面力系一样,空间力系的主 矢与简化中心的位置无关,而主
Mo M M0(F) M0
矩一般将随着简化中心的位置 不同而改变。
空间任意力系向任一点简化的结果,可得到一力和一力偶, 该力作用于简化中心； 其力矢等于力系的主矢； 该力偶的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩。
（1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 （3）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行
的任一平面，对刚体的作用效果不变。 （4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时
改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
所以合力偶矩矢的大小
M
M
2 x

M
2 y

M
2 z

284.6
N
m
合力偶矩矢的方向余弦
cosM , i 0.6786 cosM , j 0.2811 cosM,k 0.6786
A
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§3-4 空间任意力系向一点的简化
1. 简化
F'R Fi
简化中心； 主矢：矢量和、主矢的分量；
FRx Fx
FRy
Fy
主矩：各力对简化中心点之矩的矢量和； FRz
Fz
主矩的分量。
主矢与简化中心的位置无关。力系的主 MO
Mi
矢如果非零，则主矩值与简化中心的位置 有关。
M Ox (y iFzi ziFyi ) M Oy (ziFxi xiFzi )
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2．空间任意力系的简化结果分析（四种情空间形力系）第四章
1 简化结果为一力偶
主矢F’R=0，主矩MO≠0。此力系简化结果与简化中心位置无关。
2 简化结果为一合力
主矢F’R ≠ 0，主矩MO=0，主矢是合力 FR，作用线过简化中心；
此力系若向其它点简化，简化结果不同。即主矩不再为零。简化 结果与简化中心位置有关。
=
=
5
4. 空间力偶系的合成与平衡
合成 空间力偶系统的合力偶，为各力偶的矢量和。
M Mi M xi , M yi , M zi
平衡 对于空间力偶系统平衡的充要条件：合力偶矩等于零，即各力
偶矩的三个分量代数和为零。
M 0


M M
x y

0 0
M z 0
(4) FR 0, MO 0
MO(F)=r×F
M MO (F) MO (F') rA F rB F '
rA rB F
rF rBA F '
M与O点位置无关。
空间力偶是自由矢量
rA rB r r rA rB rB rA rBA rBA rB rA
z
B
M
F'
rBA
d
rB r A
F
O
rA
y
x
3
3. 空间力偶等效定理
作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等， 则两个力偶等效。
M1 M2

M M
1x 1y

M 2x M2y
M1z M 2z
F '2 d2
z
F '1
M2
r1
r2
O
F2 x
M1
d1
F1
y
4
推论：力偶的性质
作用等效定理：空间在力同系 一第刚四章体两个力偶，若它 们的力偶矩矢相等，则两个力偶等效。
知识回顾
空间汇交力系合力的计算 空间汇交力系平衡的充要条件 力对点的矩——力矩矢 力对轴的矩 力对点的矩和力对轴的矩之间的关系
MO(F) x yFz zFy MO(F) x M x(F) MO(F) y zFx xFz MO(F) y M y(F) MO(F) z xFy yFx MO(F) z M z(F)
M Oz
(xiFyi y iFxi )
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空间力系 第四章
简化理论依据：力线平移定理
M M (F)
0
F F
o d
o
A
力线平移定理：作用于刚体上的任一力,可平移至刚体的任意一点,
欲不改变该力对于刚体的作用,则必须在该力与指定点所决定的平面内 加一力偶,其力偶矩矢等于力对于指定点之矩矢.