第五章 空间力系
一、内容提要
本章研究了空间力系的平衡问题和物体重心的计算方法。

1、空间力系的平衡问题
（1）力在空间坐标轴上的投影，可采用下列两种方法：
一次投影法
αcos X F F = βc o s Y F F = γc o s Z F F =
二次投影法
ϕγcos sin X F F = ϕγs i n s i n Y F F = γcos F F Z =
（2）力对轴的矩
力对轴的矩，是力使物体绕某固定轴的转动效应的度量，是一个代数量，它的大小可按下列两种方法求解。

将力投影到垂直于轴的平面上，按平面上力对点的矩计算
()d F F M xy z ±=
将力沿x 、y 、z 轴分解，根据合力矩定理计算。

力与该轴平行或相交时，力对轴的矩为零。

（3）空间力系的平衡方程
空间汇交力系的平衡方程
0X =∑F 0Y =∑F 0Z =∑F
空间平行力系的平衡方程
0Z =∑F ()0=∑F M y ()0=∑F M x
空间一般力系的平衡方程
0X =∑F 0Y =∑F 0Z =∑F
()0=∑F M z ()0=∑F M y ()0=∑F M x
2、重 心
（1）重心与形心的概念
物体的重心是物体各微小部分的重力所组成的空间平行力系的合力的作用点。

形心是物体几何形状的中心。

匀质物体的重心与形心重合。

（2）重心和形心坐标公式
一般物体重心的坐标公式
W W F x F x c ∑∆= W W F y F y c ∑∆= W
W F z F z c ∑∆= 匀质物体重心的坐标公式
V Vx x c ∑∆= V Vy y c ∑∆= V
Vz z c ∑∆= 匀质薄板重心的坐标公式
A Ax x c ∑∆= A
Ay y c ∑∆= （3）组合法求匀质物体的重心（形心）
分割法
负面积法（负体积法）
二、典型例题解析
工程中许多空间受力问题都可以转化成平面问题。

因此，空间力系并非本章的重点内容。

本章的重点在于计算物体的重心或平面图形的形心。

下面这个类型的例题在教材中没有出现，但在工程实际中常会遇到。

知识点：计算物体的重心或平面图形的形心
例 平面桁架由七根等截面的匀质杆构成，尺寸如图所示。

求桁架的重心位置。

解 由于这七根杆都是等截面的匀质杆。

因此其重量与杆长成正比，并且每根杆的重心都在其中点。

设每米长杆重为1，则根据式（5-10）即可计算出x C 、y C 之值。

根据几何关系 l 1 =3m ， l 2 = l 3 = l 6 =2.5m ， l 4 = l 7 =2m ， l 5 =1.5m 。

l lx W Wx x c ∑∑=∑∆=
= m m 16
5.235.12235.23325.225.1125.25.2(=+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯++）（） = 1.469 m l ly W Wy y c ∑∑=∑∆=
= m m 16
155.12235.2375.05.15.25.225.25.25.13=+⨯+⨯+⨯+++⨯+⨯）（ = 0.938m
三、思考题提示或解答
5-1 力在空间直角坐标轴上的投影和此力沿该坐标轴的分力，它们之间有什么联系与区别？
答：力在空间直角坐标轴上的投影只有大小和正负，它是标量；而力沿坐标轴的分力是矢量，有大小，有方向，其作用效果与作用点或作用线有关。

在坐标轴确定的前提下，二者的大小相等。

5-2 已知下列几种情况，试说明力F 的作用线与x 轴的关系：
（1）ΣF X =0 M z （F ）=0；
（2）ΣF X =0 M z （F ）≠0；
（3）ΣF X ≠0 M z （F ）=0。

答：（1）ΣF X =0 M z （F ）=0：该力与z 轴平行或位于Oyz 平面内；
（2）ΣF X =0 M z （F ）≠0：该力与x 轴垂直且不与z 轴相交或平行；
（3）ΣF X ≠0 M z （F ）=0：该力与z 轴相交且不与x 轴垂直。

5-3 试从空间一般力系的平衡方程，推导出空间汇交力系、空间平行力系、平面一般
力系的平衡方程。

答：某物体受空间汇交力系作用，取各力的作用线的交点为空间坐标原点，不论力系是否平衡，总有()0≡∑F M x ，()0≡∑F M y ，()0≡∑F M z 。

所以，空间汇交力系的平衡方程是： 0X =∑F 0Y =∑F 0Z =∑F
某物体受空间平行力系作用，取z 轴与各力的作用线平行，不论力系是否平衡，总有0X ≡∑F ，0Y ≡∑F ，()0≡∑F M z ，所以。

空间平行力系的平衡方程是：
0Z =∑F ()0=∑F M y ()0=∑F M x
某物体受平面汇交力系作用，取各力的作用线都位于Oxy ，不论力系是否平衡，总有0Z ≡∑F ，()0≡∑F M x ，0≡∑y M ，所以。

平面汇交力系的平衡方程是：
0X =∑F 0Y =∑F ()0=∑F M z
5-4 为什么当匀质物体有对称面、对称轴、对称点时，重心必定在其对称面、对称轴、对称点上？
答：当匀质物体被对称面、对称轴、对称点分割成两部分后，这两部分的重量、体积或面积必然相等，而形心的坐标必定互为相反数，这样乘积后再代数和就必等于零，重心也就必定落在其对称面、对称轴、对称点上了。

5-5 选取不同的坐标轴计算物体的重心时，所得的重心坐标是否相同？重心在物体内的位置是否改变？
答：所得的重心坐标数值不同，但在物体内的位置不会改变。

5-6 利用负面积法（负体积法）求组合形体的重心时，面积（体积）及其相应的形心坐标的正负号如何确定？
答：面积（体积）由于多计算，应减去该部分，故而应为负；相应的形心坐标的正负，则根据负面积（体积）所在坐标系的位置而定。

四、习题解答
5-1试分别求出图示各力在三个坐标轴上的投影，已知：
（1）图a 中F 1=30N ，F 2=20N ，F 3=10N
（2）图b 中F 1=20N ，F 2=15N ，F 3=25N
（空10行）
题5-1图
解 根据六面体的尺寸，直接将边长与对角线的比值代入投影的计算
a ） F 1X =0
F 1Y =0
F 1Z =30 N
F 2X =N N 29.105
33
2022-=+⨯- F 2Y = N N 15.17535
2022=+⨯
F 2Z =0
F 3X = N N 24.45
433
10222=++⨯ F 3Y = N N 07.75
435
10222=++⨯ F 3Z = N N 66.55434
10222=++⨯
b ） F 1X =0
F 1Y = N N 14.142
220=⨯ F 1Z = N N 14.142
220=⨯ F 2X =N N 5.72115=⨯
F 2Y = N N 0.132315=⨯
F 2Z =0
F 3X = N N 5.122125=⨯
F 3Y = 0
F 3Z = N N 65.212
325=⨯ 5-2 已知在图示截面上A 点作用铅垂力F =200kN ，求该力对三个坐标轴的矩。

（空12行）
题5-2图
解 根据力对轴之矩的定义及正负号规定
()=F M x （-200×0.2）m kN ⋅= -40m kN ⋅
()=F M y （-200×0.3）m kN ⋅= -60m kN ⋅
()0=F M z
5-3试求下列各平面图形的形心。

（单位：mm ）
(空18行)
题5-3图
解
a) x C = 0 (利用对称性)
y C = 20
)200160150(10202001002016019020150⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ mm = 91.2 mm b) x C =
20
)100120(50201001020110⨯+⨯⨯+⨯⨯ mm = **27.7 mm y C = 20
)100120(10201007520110⨯+⨯⨯+⨯⨯ mm =**42.0 mm c)
x C =
10)30240(510302201040⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ mm = 15.9 mm
y C = 25 mm (利用对称性)
5-4试求图示阴影面积的形心位置。

(空12行)
题5-4图
解
a) x C =π
πππ4000010000600100075040000250100005006001000--⨯⨯-⨯-⨯⨯ mm =πππ5.06300253000--- mm =43
.41979 mm = 446.8 mm y C = 300mm (利用对称性)
b)
x C = 0 (利用对称性)
y C =1874
324524365412222a a a a a a a a =-=⨯⨯⨯-⨯。