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工程中常常存在着很多各力的作用线在空间内任意分布的 力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
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第五章 空间任意力系 §5–1 空间任意力系的简化 §5–2 空间任意力系的平衡方程
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一、空间任意力系的简化
空间任意力系的平衡方程的其它形式： 四矩式 五矩式 六矩式
投影轴和取矩轴可以任意选择，但六个方程必须线性无关。
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三、空间平行力系（平行于 z 轴的平行力系）：
因为： M z (Fi ) 0
F3
Fx 0
成为恒等式
Fy 0
z
Fn
F1 y O
x 故空间平行于 z 轴的平行力系的平衡方程为： F2
FBx 437(N)
Fx 0
Qx
FAx
FBx
FAy
Px
Py
y FAx FBx Px Q cos 200 0
CA
B
FAx 729(N)
x
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解题步骤、技巧与注意问题：
1、解题步骤： 2、解题技巧：
①选研究对象 ②画受力图 ③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数
① 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。
Fx Fz Fx
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3、止推轴承
Fz Fy
Fx
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4、带有销子的夹板
Fz Fx
Fy
Fz
Fy
Fx
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5、空间固定端
Fy
Fz
Fx
Fz Fy
Fx
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[例1] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？ (Q力作用在C轮的最低点）
解：
Fx 0, FDx 0
Mz
0,
M3
FAy
a
0, FAy
M3 a
M1
Fy
0,
FAy
FDy
0, FDy
FAy
M3 a
My
0,
M2
FAz
a
0, FAz
M2 a
Fz
0, FAz
FDz
0, FDz
FAz
M2 a
FAz FAy
M2
M3 FDz FDy FDx
Mx1 0, M1 bFDz c FDy 0
P
P3 3
FTB
ctg60 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
6
80 23.1 (N)
FTB
Fx 0, FTA FTB cos60 0
FTA FTB cos 60
3 80 1 11.5 (N)
6
2
Fy 0,
FNA FTB sin60 0,
FNA
3 80 6
3 20 (N)
2
26
5-3 5-6 5-8 5-10
解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程
FAz FAx
FBz FAy
FBx
最好使每 一个方程 有一个未 知数，方 便求解。
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FAz FAx
FBz FAy
FBx
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
My 0
Pz 50 100 Q cos 20o 0 Q 746(N)
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Mz 0
FAz FAx
FBz FAy
FBx
300Px 50Py 200FBx 50Q cos200 0 FBx 437(N)
Fx 0
FAx FBx Px Q cos 200 0
FAx 729(N)
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Mx 0
FAz FAx
FBz FAy
FBx
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
MA 0
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
FBz 2040(N)
Pz
y
Fz 0
FAz FBz Pz Q sin200 0
FAz 385(N)
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俯视图：yx平面
MA 0
FAz FAx
FBz FAy
FBx
300Px 50Py 200FBx 50Q cos200 0
Mo
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二、空间任意力系的平衡方程
FR
0
MO 0
FR Fx 2 Fy 2 Fz 2 MO M x 2 M y 2 Mz 2
Fx 0, M x (F ) 0 Fy 0, M y (F ) 0 空间任意力系的平衡方程
Fz 0, Mz (F ) 0
空间任意力系平衡的充要条件是：
Fz 0 M x (Fi ) 0 M y(F ) 0
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四、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能
的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。 阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。
1、球形铰链
Fz Fy
Fx
Fz
Fy Fx
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2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承 Fz
② 投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力
平行或相交。
③ 一般从整体 局部的研究方法。
④ 摩擦力F = FN fs ，方向与运动趋势方向相反。
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3、注意问题： ① x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴）可以不重合、可以 是任选的六个轴。 ② 空间力系独立方程六个，取矩方程不能少于三个。 ③ 力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现） ④ 空间力系中也包括摩擦问题。
解：思路：要巧选投影轴和取 矩轴，使一个方程解出一个未 知数。
Fz 0,FNB P 80N
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MDD' 0,
1 FTB cos60 AC P 2 CE 0
又 AC ctg60 cos 60 CE
FTA
FTB
cos 60
AC
P
1 2
AC
ctg60
cos 60
FNA
FNB
Fx Fy
FRz
Fz
FR Fx 2 Fy 2 Fz 2
主矢的方向
cos(FR,i)
FRx FR
Fx FR
c os (FR ,
j)
FRy FR
Fy FR
cos(FR, k)
FRz FR
Fz
FR
（2）主矩的简化
Mox Moy
Mo(F) x Mo(F) y
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[例2] 曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, M2,
M3 。
求：支座反力及M1=? 此题训练：
①力偶不出现在投影式中
M1 M2
②力偶在力矩方程中出现是把力
M3
偶当成矢量后，类似力在投影式
中投影。
③力争一个方程求一个支反力。 ④了解空间支座反力。
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M1
bFDz
cFDy
b(
M2 a
)
c(
M3 a
)
b a
M2
c a
M3
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FTA FNA
FNB
FTB
[例3] 已知：AB杆, AD,CB为 绳, A、C在同一垂线上，AB 重80N，A、B光滑接触， ∠ABC=∠BCE=600, 且AD水 平，AC铅直。求平衡时， FTA，FTB及支座A、B的反力。
➢ 空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 ➢ 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各个力的
矢量和，并与简化中心的选择无关。 ➢ 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，并等于
力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并与简化中心的 选择有关。
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（1）主矢的简化
FRx FRy
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个 轴力矩的代数和都必须分别等于零。
共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。 6
二、空间任意力系的平衡方程
Fx 0, M x (F ) 0 Fy 0, M y (F ) 0 空间任意力系的平衡方程 Fz 0, Mz (F ) 0
系平衡问题来求解。
右视图：xz平面
z
FAz FAx
FBz FAy
FBx
x Px
o
Pz
Qx
Qz
Mo 0 Pz 50 100 Qx 0
Q 746(N)
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FAz FAx
FBz FAy
FBx
z
Qz
FAz
FAy
CA
FBz Py
B
主视图：yz平面
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
FBz 2040(N)
Fz 0
FAz FBz Pz Q sin200 0
FAz 385(N)
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[例1] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时力Q=？和轴承A , B的约束反力？
方法(二) : 将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力
M
x
(F
)
M y (F)
Moz
Mo(F) z
M
z
(
F
)
MO M x 2 M y 2 Mz 2
主矩的方向
cos(M o ,i)
M ox Mo
M
x
(F
)
Mo
cos(M o ,
j)
M oy Mo
M y(F)