函数初步
一、 教学目标
掌握函数值域的求法，并且在符合函数与抽象函数中能灵活运用。
二、 教学重难点
重点：求函数值域的方法
难点：复合函数解析式、抽象函数定义域问题，值域综合题型 三、 基础知识及典型例题分析 1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
考点一：函数值域的求法 (一) 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，
当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a
b a
c y y 4)4(|2
-≤}.
双勾函数（略）
对于较复杂的函数，应优先观察函数是否具有“单调性”，如果具有单调性，只需要确定单调性与定义域即可求出值域。
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)(
变式：求下列函数的值域
（1）1
y x
= （2） 3y = （3）y=x+2/x
(二) 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
形如y =af 2
(x )+bf (x )+c (a ≠0)的函数常用配方法求函数的值域。
要注意f (x )的取值范围。
对于二次函数k h x a x f +-=2
)()()0(>a 在区间],[n m 上的最值问题，有以下结论： ①若],[n m h ∈，则{})(,)(,)(m ax m in n f m f y k h f y ===；
②若m h <，则)(),(m ax m in n f y m f y ==； ③若m h >，则)(),(m ax m in m f y n f y ==。
0<a 时，可仿此讨论。
例2 ：求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；
③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；
变式：求函数]2,1[x ,5x 2x y 2
-∈+-=的值域。
(三)
分离常数法
对于形如0,0,)(≠≠-++=
c bc a
d d cx b ax x f 的函数的值域，一般为}⎩
⎨⎧
≠
∈c a y R y |，这是因为
c a c
d x ac ad bc c a c d x a b x c a d cd b ax x f ≠⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+
-+=++
=++=1)(。
主要适用于具有分式形式的函数解析式，通过变形，将函数化成()
b
y a g x =+
的形式。
例3：1
+=x x
y 求函数221x x y =+的值域．
解：2(21)11
1212121
x x x x x
y +-===-+++． 20x
>∵，11x
2+>∴，1121x 0<<+∴，1021
x 1
-<-<+∴，
1
1121
x
0<-
<+∴． ∴函数的值域为(01)，．
变式：求下列函数的值域：
（1）y ＝2x －4x ＋1 ；（2）y ＝1－x
2x ＋5
(四) 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
对于形如0,0,)()(≠≠-++=
c bc a
d d
x cf b
x af y 的函数，若],[)(n m x f ∈，常先求出)(x f （用y 表示），
再根据)(x f 的范围求得y 的范围。
例4：求函数y=3
42+-x x 的值域
变式：求函数（1）y ＝3x 2－1x 2＋2
（2）
11x x
e y e -=+的值域.
(五) 判别式法
判别式法求最值，用途很广，大家也较熟悉，但用判别式求最值是有条件的，即当R x ∈时，使用“∆”求最值万无一失；当],[b a x ∈时，使用“∆”求最值不保险，因为],[b a 不一定包含“∆”求最值点的横坐标。
若解决某些实际问题时，用“∆”求最值方便，也要验证x 是否在已知区间，或是否符合实际。
例5：223
1
x x y x x -+=-+
变式：（1）求函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域 （2）求34252
+-=x x y 的值域
(六)
换元法
形如d cx b ax y +±+=的形式，可用换元法，即设d cx t +=，转化成二次函数再求值域（注
意0≥t ）。
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例6:已知函数f(x)的的值域是34[,]89
，求()y f x =+
变式：求函数的值域
①x x y -+=2； ②2
42x x y --=
(七) 数形结合法:
当函数的解析式明显具备某种几何意义， 像两点间的距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例7：求函数y =的值域。
(八) 分段函数
例8．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
(九) 多种方法综合运用 例9. 求函数
3x 2
x y ++=
的值域。
3.对勾函数
其他函数：
练习：1.求下列函数的值域
（1
）2
y x
=+（2）
2
21
x x
y
x x
-
=
-+
（3）
3
4
2
2
2
+
-
-
+
=
x
x
y
x
x
(4)y=
2.已知函数
2
2
2
()(0)
1
x bx c
f x b
x
++
=<
+
的值域为［1，3］，求实数b、c的值。
3.求函数449622+-+++=
x x x x y 的最小值
4.求函数225,(12)y x x x =-+-≤≤的值域
5. 求函数
22x 1x x 1y +++=
的值域。
6. 求函数)2(1x x y -+=的值域。
7. 求函数3465
x y x +=+值域。
8. 求函数1x x y -+=的值域。
9. 862++-=
m mx mx y 的定义域为R
（1）求m 的范围
（2）当m 变化时，若y 的最小值为)(m f ，求函数)(m f 的值域。
四、 课后作业
1. 已知函数
2
()68f x x x =-+ 在 []1,a 上的最小值为 ()f a ，则实数 a 的取值范围为 （ ） .A ()1,+∞ .B (]1,3 .C (]1,5 .D []3,5 2. 函数2
1
x y x -=+的值域是（ ）
A R
B ()(),11,-∞-+∞
C ()(),11,-∞+∞
D ()(),11,-∞--+∞ 3. 函数31y x x =--+的最大值与最小值之积等于（ ）
A -24
B -16
C -12
D -8 4. 已知函数y ＝ 使函数值为5的x 的值是 ( ) A.－2 B.2或－52 C.2或－2 D.2或－2或－5
2
5. 函数2
3y x x
=-
在[]1,2上的最大值为 。
6. 已知函数()2
1412
--+-=a ax x x f
（1） 若函数()x f 的值域为(]0,∞-，求实数a 的值； （2）当[]1,0∈x 时，函数()x f 的最大值为2，求实数a 的值。
7. 求函数的值域。
8. 求函数的值域。
9. 函数的定义域是,求其值域。
10. 求函数的值域。
11. 函数的定义域是,值域为,求m的值范围。
12. 求函数的值域。
13. 分别求出下列函数错误！未找到引用源。
的解析式:
1)2)
11
12 3）(2)23f x x +=+ 4）11()1
f x x =+。