（1） 当 y 2 0 即 y 0 时
x R 0
即： 4 y 2 4 y 2 3 y 7 0
2
9 解得 y 2 2
（2） 当 y 2 0 即 y 2 时 有 6 7 0 （舍去） 9 y 2 2
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函数总结
教师：谢焕钢
第二讲：函数的三性质 1、函数的单调性 定义： 一般地， 设函数 y=f(x)的定义域为 A， 区间 I A ， 如果对于区间 I 上的任意的两个值 x1 , x2 ， 当 x1 x2 时，都有
f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说 y f ( x) 在区间 I 上是单调增函数， I 称为 f ( x) 的单
2
点为 k , h ） ；两根式： f ( x) a x x1 x x2 ，其中 x1 ， x2 为使 f(x)=0 成立的两根；一般式：
f ( x) ax 2 bx c ；
反比例函数可设成： f ( x)
k ） x
例：已知 f ( x) 为一次函数， f ( f ( x)) 4 x 3 求 f ( x) 的函数解析式。 （注：这里不仅要利用到待定 系数法，也要用到直接代入法） 解：令 f ( x) ax b 则 f ( f ( x)) a ax b b a 2 x ab b 4 x 3
练习：函数 A 到 B 的函数 f ( x ) : x 2 x 1 集合 A 1, 2,3 ， B 0,1, 2,3, 4,5,6 求 f ( x) 的值域。 B、配方法：求二次函数的值域（通常和函数图像一起来求解）
2 ) , 例如：已知函数 y x 2 2 x 3 分别求出下列区间上的值域， （1）x R ， （2） 、x [2 ] 3 ,1 [ （3） 、x
2
法二： （拼凑法）解： f ( x 1)
x 1 5
2

x 1 2 x 1 3 x
x 1 4（ x 1 1 ）

所以：
f ( x) x 2 5 x 4
(x 1 )
（一定注意这里 x 的范围）
1 x 练习： f ( ) 2 求 f ( x) 的函数解析式。 x x x 1 1 D、方程组法： （主要对于含有 f ( x) 和 f ( ) 或者含有 f ( x) 和 f ( x ) 的情况） x 1 1 例：已知 f ( x) 2 f ( ) 3x 2 ，求 f ( x) （通过变换得到一个方程组消去 f ( ) 得到 f ( x) 的解 x x 析式） 1 1 解：把 x 换成 ， 换成 x x x 1 1 得 f ( ) 2 f ( x) 3 2 x x
9 所以：原函数的值域为 y / y 2 2
再例如，作业一中的 求 y 练习：求 y
2
1 的值域（因为分母也是恒大于零，也可以用判别式法求解） x 2x 3
2
12 的值域 x 2x 4 4、函数的三要素：定义域、对应法则和值域，三者缺一不可。定义域和对应法则确定，则函数确定！ （一般由此判断两个函数是否为同一函数。 ） 5、函数的表示方法：列表法、图象法和解析式法。 主要内容：函数解析式的求法： A、直接代入法： （主要针对于已给出 f(x)的解析式，求另一个函数解析式）
2x2 4x 7 的值域 x2 2x 3
（这里分母是恒大于零的）
解：已知函数式可变形为 y x2 2x 3 2x2 4x 7
yx 2 2 yx 3 y 2 x 2 4 x 7


y 2
程么？）
2 （ 注：这个方程可以看做是一元二次方 x 2 y 2 0 x3 y 7
0 x1 x2 1
x1 x2 0
x1 x2 0
x1 x2 1 0
所以 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 即 f ( x1 ) f ( x2 ) ……. …定号 所以 f ( x) 在 (0,1) 上为单调减函数………….结论 （对于函数单调性的判断也可以通过画图，从图形上直接分析出在某个区间上函数具有怎样的单调
例如：f ( x) 2 x 2 1 求 f ( x 2 1) （可以把 f(x)中的 x 直接换成 2 x 2 1 ） 得到 f ( x 2 1) 2 x 2 1 1
2
（要化简）
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练习：若 f ( x 1) 2 x 1 ，则 f ( x 2 ) _________________. B、 待定系数法： （主要针对于题意中给出 f（x）是一次或二次函数或者是反比例函数，一次函数一 般设成 f ( x) ax b 二次函数有三种设法，可根据题意选择：顶点式： f ( x) a x k h 表示顶
x 1 t x t 1 （ t 1）
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函数总结 则 x t 1 所以 所以
2
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2 f (t ) t 1 3 t 1 t 5t 4
2
（ (t 1) ）
f ( x) x 2 5 x 4
( x 1 ) （一定注意这里 x 的范围）
x2 4x 3 的值域（这里是上面例题的变式，主要对于分子分母都可因式分解， 2x2 x 1
并含有公因子，消去公因子的时候注意公因子不能等于零！ ） 练习：求 f ( x)
2 x2 x 1 的值域。 3x 2 4 x 1
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D、换元法： （主要对于含有根号的函数，把较复杂的函数转化成我们常见的较简单的函数） 例如：求函数 f ( x) x 1 2x 的值域
1 参考答案：令 t 1 2 x （ t 0 ） 所以，函数 f ( x) x 1 2x 的值域为 (, ] 2
练习：求 f ( x) 2x x 1 的值域。 E、判别式法： （主要针对分母是含有 x 的二次整式，分母必须恒大于零或恒小于零：也就是定义域 为 R） 例如：求 y
f ( x1 ) f ( x 2) x 1
1 1 (x ) ……………（.作差 2 x1 x2
x1 x2 (
1 1 ) x1 x2
x1 x2
x1 x2 1 …………………变形） ( x1 x2 ) x1 x2
x1 x2 x1 x2
（这里给出的 x 的范围主要有三种：整个定义域 R，区间介于对称轴的两边，区间在函数图像对称轴 的一边， ） 解：第一步：先进行配方。 第二步：作出函数的大致图像（要标出图像与坐标轴的交点和定点坐标、对称轴、要求的区间的端 点坐标） 第三步：从图像上分析，在要求的区间上的函数值域是多少 练习： 函数 f ( x) x 2 4 x 1 ，求 (1,3) 上的值域。 C、分离常数法： （主要针对于分子、分母都是一次式的分式函数，要我们分离出一个常数，得到一 个常数和一个分子不含未知数的和） 3x 1 例如：求函数 y 的值域 x 1 参考答案：函数的值域为 ,3 3, （写成区间或集合） 再如：求 y

性。常见函数的单调性有：1、一次函数 y kx b ，若 k 0 则在 R 上单调增， k 0 在 R 上单调减。 2、 二次函数 y ax 2 bx c (a 0) 若 a 0 则在对称轴左边和右边分别为单调减和单调增；a 0 则 在对称轴左边和右边分别为单调增和单调减。3、反比例函数 y 单调减，若 k 0 则在 ( , 0) 和 (0, ) 上单调增 若果 f ( x) 练习：求证： f ( x) x


x 3 x 2x
2
的定义域。
2、值域的求法： （值域的求法是比较难的内容，同学们暂时只要了解和掌握比较常见的值域求法就可 以了）主要有以下几种：
1 ,x 0 A、观察法：只要适合于比较简单的函数，比如： y 0 , x 0 值域就为 1, 0, 1 。 1, x 0
什么？） 关于单调性主要有： （a、函数单调性的证明；b、复合函数单调性问题 c、利用函数单调性解决实 际问题） 函数单调性的判断和证明： （定义法主要步骤：1、取值； 2、做差（作商）变形；3、定号；4、结论） 1 例：证明 f ( x) x 在 (0,1) 是单调增函数。 x 证明：任意取 x1 , x2 (0,1) 且 x1 x2 ……………..取值
调增区间。 （可简单的认为：在定义域的一个子区间 I 上，f(x)随着 x 的增大而增大，就说 y 在区间 I 上是单调增函数。这里的区间 I 一般是定义域的一个子区间，比如： 调增区间为 (0, ) ，单调减区间是？也可以是整个定义域比如： 上是单调增函数） （单调减函数类似）
f ( x)
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函数总结 第一讲：函数的三要素
1、定义域的求法：主要遇到的是（1） 、分式函数的分母不为 0。例如： y
1 定义域为： x / x 1 x 1
有 x2 2 0
（写成集合的形式） （2） 、 含偶次根式的函数， 根号底下的大于等于 0。 例如：y x 2 2 求得其函数定义域的为： x / x 2或x 2 练习：求 f ( x)
的单
f ( x) x 2 1
f ( x) x3
其在整个定义域 R
注： f ( x) 在 A、B 两个单调区间上都是单调增的，不能简单的认为 f ( x) 在 A B 也是单调增的， 例如 f ( x)
1 的单调增区间为 , 0 和 0, ， 但在 , 0 0, 上并不具有单调性。 （想想为 x 1