高等数学练习题 第二章 导数与微分系 专业 班 学号第一节 导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= )(0x f '-2. 若)(0x f '存在，hh x f h x f h )()(lim000--+→= )(20x f ' .000(3)()limx f x x f x x∆→+∆-∆=03()f x '.3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim)000x f x x f xx 414.已知物体的运动规律为2t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（3π，21）处的切线方程为03123=--+πy x ，法线方程为0322332=-+-πy x 6.用箭头⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ⇔可导<≠⇒| 连续 <≠⇒ 极限存在。
二、选择题1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则xx f x )(lim 0→= [ B ]（A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 21)0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则xx b x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim0 = [ B ]（A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2ba +)(x f ' 3. 函数在点x 处连续是在该点x 处可导的条件[ B ]（A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]（A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1) 5.设函数|sin |)(x x f =，则 )(x f 在0=x 处 [ B ] （A ）不连续。
（B ）连续，但不可导。
(C)可导，但不连续。
（D ）可导，且导数也连续。
三、设函数⎩⎨⎧>+≤=11)(2x b ax x x x f 为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a ，b 应取什么值。
解：由于)(x f 在1=x 处连续, 所以 )1()1(1)1(f b a f f =+===+-即 1=+b a又)(x f 在1=x 处可导，所以2'11(1)lim 21x x f x --→-==-'1()(1)lim 1x ax b a b f ax ++→+-+==-有 2=a ， 1-=b 故 求得 2=a ， 1-=b四、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '=0。
解：由于)(x f 是偶函数, 所以有 )()(x f x f -=0()(0)(0)lim 0x f x f f x →-'=-0()(0)lim 0x f x f x →--=-()(0)lim (0)x tt f t f f t=→-'==--令 即 0)0(2='f ， 故 0)0(='f五、 证明：双曲线2a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
解：222,xa y x a y -='=在任意),(00y x 处的切线方程为 )(02020x x x a y y --=-则该切线与两坐标轴的交点为：)2,0(02x a 和)0,2(0x所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为20222221a x x a A =⋅⋅=，（a 是已知常数） 故其值为定值.高等数学练习题 第二章 导数与微分系 专业 班级 学号第二节 求导法则（一）一、填空题1．x x y sin )sec 2(+=, y '=1cos 2tan2++x x ; x e y sin -=, y '=x xe sin cos --.2．)2cos(xe y =，y '= 2sin(2)xxe e -; y =x x2sin ，y '=22sin 2cos 2xx x x - 3．2tanln θρ=，ρ'=θcsc ; =r 2ln log 2+x x , r '=e x 22log log +4. )tan ln(sec t t w +=, w '=t sec . 2arccos()y x x =+，y '=5. ='+)1(2x 21xx +; (c x ++21 )'=21xx + .6. ]2tan [ln 'x = ; ( c x x +++)1ln(2)'=211x+ .二、选择题 1．已知y=xxsin ，则 y '= [ B ]（A）2cos sin x xx x - (B)2sin cos x xx x - (C)2sin sin x xx x -(D)x x x x sin cos 23- 2.已知y=xx cos 1sin + ，则y '=[ C ] （A ）1cos 21cos +-x x (B) 1cos 2cos 1-+x x (C) x cos 11+ (D) xx cos 11cos 2+-3.已知xe y sec =，则y '=[ A ]（A ）xxxe e e tan sec (B) x xe e tan sec(C) x e tan (D)xx e e cot4.已知)1ln(2x x y ++=，则y '=[ A ] （A ）211x + (B) 21x + (C)21x x+ (D) 12-x 5.已知xy cot ln ==，则4|π='x y =[ D ]（A ）1 （B ）2 （C ）2/1- (D) 2- 6.已知xx y +-=11，则y '=[ B ] （A ） 2)1(2+x (B) 2)1(2+-x (C) 2)1(2+x x (D) 2)1(2+-x x三、计算下列函数的导数：(1) y =+ (2) )tan(ln x y =解：2311(ln )3y x x -''=+ 解：xx y 1)(ln sec '2= 23111(ln )33y x x x -'=+ )(ln sec 12x x=(3) v eu 1sin 2-= (4 ) )(ln sec 3x y =解：⋅-⋅=-v eu v1sin 2('1sin 2))1(1cos 2v v -⋅ 解：⋅=)sec(ln )(ln sec 3'2x x y xx 1)tan(ln ⋅v e v v 1sin 222sin 1-= )tan(ln )(ln sec 33x x x=(5) ln(y x =+ (6) 1arctan 1xy x-=+解：''y x =+ 解：211()111()1xy x x x-''=-+++= 211x -=+=四、设)(x f 可导，求下列函数y 的导数dxdy （1）)()(x f xe ef y =(2))(cos )(sin 22x f x f y +=解：)()(''x f x x e e e f y ⋅⋅= 解：x x x f y cos sin 2)(sin ''2= )(')()(x f e e f x f x ⋅⋅+ 2'(cos )(2cos (sin ))f x x x +⋅-＝)()(')('[)(x x x x f e f x f e f e e + ＝22sin 2('(sin )'(cos ))x f x f x -(3) )](arctan[x f y = (4))](sin[)(sin x f x f y +=解：)(')(11'2x f x f y ⋅+=解：+=x x f y cos )(sin '')('))(cos(x f x f ⋅ ＝)(1)('2x f x f + +=)(sin 'cos x x ))(cos()('x f x f高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班级 学号第二节 求导法则（二）一、填空题： 1.x ey x 3cos 2-=,='y )3sin 33cos 21(2x x e x+--; x y 2ln 1+=,='y x x x 2ln 1ln +2．xy 1arccos =，='y 1||12-x x ； xarx e y tan=， ='yx e x x arctan )1(21+3．x x y sin 21sin 2arcsin++=，='y xsin 23+±4．设1ln arctan 22--=x xxe e e y ，则==1x dx dy25．设322)(xex y -+=，则='=0|x y 316．设)(x f 有连续的导数，0)0(=f ，且b f =')0(，若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,sin )()(x A x xx a x f x F在0=x 处连续，则常数A = b a +二、选择题：1．设)(x f y -=，则='y [ D ] （A ）)(x f ' （B ）)(x f '- （C ）)(x f -' （D ）)(x f -'- 2．设周期函数)(x f 在),(∞+∞-可导，周期为4, 又 12)1()1(lim 0-=--→xx f f x , 则曲线)(x f y =在点))5(,5(f 处的切线的斜率为[ D ] （A ）21（B ）0 （C ）1- （D ）2- 3.已知 212arctan 21xxy -=，则 y '=[ C ] （A ） 112+x (B) 21x + (C) 112+x (D) 12-x 4.已知)ln arcsin(x x y =，则y '=[ C ]（A ）x ln (B) 2)ln (1ln x x xx - (C) 2)ln (1ln 1x x x-+ (D) 1ln )ln (12--x x x三、已知2arctan )(,2323x x f x x f y ='⎪⎭⎫⎝⎛+-=，求：0|=x dx dy解：令2323+-=x x u ， 则)(u f y =且2arctan )('u u f =)'2323(arctan ')('2+-⋅=⋅=⋅=∴x x u u u f dx du du dy dx dy 22)2323arctan()23(12+-⋅+=x x x =∴=0x dxdy π43)2323arctan()23(12022=+-⋅+=x x x x四、设0>x 时，可导函数)(x f 满足：xx f x f 3)1(2)(=+，求)(x f ' )0(>x 解：令xt1=，则 t t f t f 3)(2)1(=+，即x x f xf 3)(2)1(=+ (1) 又xx f x f 3)1(2)(=+ (2)由(1)式和(2)式可得xx x f 12)(-= 212)'12()('xx x x f +=-=∴五、已知)(2)(x fa x =ψ，且)(ln 1)(x f a x f ⋅='，证明：)(2)(x x ψψ='证明：因为 )(')(2ln )'()(')()(22x f x f a a a x x fx f ⋅⋅⋅==ψ，又)(ln 1)(x f a x f ⋅='所以 )(22)(')(2x a x x f ψψ==六、证明：可导的奇函数的导数是偶函数。