空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。

求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。

则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。

在Rt △BE 1F 中，2222115126E F E F BF =+=+=。

在Rt △D 1DE 1中，11D E ====在Rt △D 1DF中，1FD ====在△E 1FD 1中，由余弦定理得：222111111111cos 214D E FD E F E D F D E FD +-∠==⨯⨯∴直线1EC 与1FD所成的角的余弦值为14。

可见，“转化”是求异面直线所成角的关键。

平移线段法，或化为向量的夹角。

一般地，异面直线l 1、l 2的夹角的余弦为：cos AC BD AC BDβ⋅=⋅。

二、直线和平面所成的角斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。

因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有θπϕ-=2或θπϕ+=2（图2）图2特别地 0=ϕ时，2πθ=，α⊥l ；2πϕ=时，0=θ，α⊆l 或α//l 。

例2如图3，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱AA 1=2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在θωαlvnωθαvln平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G 。

求A 1B 与平面ABD 所成角的大小。

解 以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立直角坐标系，设a CB CA ==，则）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ∴ ）（1,2,2a a E ， ）（31,3,3a a G ， ）（32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵ 点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴ ⊥GE 平面ABD ， ∴ 0=⋅BD GE ，解得 2=a 。

∴）（32,31,31=GE ， ）（2,2,21-=BA ， ∵ ⊥GE 平面ABD ， ∴GE 为平面ABD 的一个法向量。

由 32323634||||,cos 111=⋅=⋅>=<BA GE BA GE BA GE得 32arccos,1>=<BA GE ， ∴ B A 1与平面ABD 所成的角为32arccos 2-π，即 37arccos 。

评析 ① 因规定直线与平面所成角]20[π∈θ，，两向量所成角]0[π∈α，，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|α-π=θ。

②一般地，设n 是平面M 的法向量，AB 是平面M 的一条斜线，A 为斜足，则AB 与平面 M 所成的角为：arccosarcsin2AB n AB n AB nAB nπ⋅⋅-=⋅⋅。

三、二面角的求法：1．几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4（1）。

②利用三垂线定理及其逆定理，图4（2）最常用。

③作棱的垂面，图4（3）。

图4另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角；2．向量法：①从平面的法向量考虑，设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角β--αl 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为ϕ，则有π=ϕ+θ或 ϕ=θ（图5）图5②如果AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为,AB CD 〈〉。

例3如图6，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ， D 是CB 延长线上一点，且BC BD =。

求二面角B AD B --1的大小。

解 取BC 的中点O ，连AO 。

由题意 平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥，α βAOP A B OP αβ 4（1） 4（2）4（3）ωθβlαnnCB 1BOA 1C 1zAy∴⊥AO 平面11B BCC ，以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 图6 则 ）（323,0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,323,231B ， ∴ ）（323,0,29-=AD ， ）（0,323,31-=D B ， ）（0,323,01=BB ， 由题意 ⊥1BB 平面ABD ， ∴ ）（0,323,01=BB为平面ABD 的法向量。

设 平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥D B n AD n 122， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122D B n AD n ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03233032329y x z x ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧==xz y x 3323。

∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ， 由 212323323||||,cos 212121=⨯=⋅>=<n BB n BB n BB ， 得 60,21>=<n BB 。

故所求二面角B AD B --1的大小为60。

评析 在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2---=n 时，会算得21,cos 21->=<n BB ，从而所求二面角为 120，但依题意只为60。

因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。

所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

小结：1空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解。

平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况。

．几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。

向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。

主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。

练习：1、如图，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，其中O x //BC ，O y //AB ．E 为VC 中点，正正四棱锥底面边长为2a ，高为h 。

（Ⅰ）求;,cos ><DE BE（Ⅱ）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是 二面角α—VC —β的平面角，求∠BED ．解：（I ）由题意知B （a ，a ，0），C （―a ，a ，0），D （―a ，―a ，0），E ),2,2,2(ha a -由此得),2,23,2(),2,2,23(h a a DE h a a BE =--= ,42322)232()223(22h a h h a a a a DE BE +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅∴.1021)2()2()23(||||22222h a h a a DE BE +=+-+-== 由向量的数量积公式有.10610212\1021423||||,cos 222222222ha h a h a h a h a DE BE DE BE DE BE ++-=+⋅+++-=⋅⋅>=< （II ）若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，则CV BE ⊥，即有CV BE ⋅=0． 又由C （－a ，a ，0），V （0，0，h ），有),,(h a a CV -=且),2,2,23(ha a BE --= ,02223222=++-=⋅∴h a a CV BE 即,2a h =这时有.31)2(10)2(6106,cos 22222222-=++-=++->=<a a a a h a h a DE BE .31arccos )31arccos(,-=->==<∠∴πDE BE BED2．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B的两条对AA'D角线交点为D ，B 1C 1的中点为M 。

求证：（1）CD ⊥平面BDM ；（2） 求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小。

分析：要证CD ⊥平面BDM ，只需证明直线CD 与平面BDM 内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角的平面角或转化为 两直线的夹角。

考虑几何法或向量法求解。

解法一：（1）如图连结CA 1、 AC 1、CM ，则CA 111CB CA CBA ==∴∆为等腰三角形。

又知D 为其底边的中点，∴CD ⊥A 1B 。

∵A 1C 1=1，C 1B 1∴A 1B 1。