【伉俪深情】
李商隐26岁入泾原节度使王茂元幕僚，并 爱上王茂元之女。开成二年（公元837年）， 腊月二十三，过小年时，李商隐和王家七小 姐举行订婚仪式。正月初五，举行结婚仪式。 结婚后感情殊好。有一首思念爱妻的《夜雨 寄北》，仍然为现代人称道，亦为之辛酸。
《夜雨寄北》 君问归期未有期，巴山夜雨涨秋池。 何当共翦西窗烛，却话巴山夜雨时。
(1) y= 3xx-+21; (2) y=2x+4 1-x ;
(1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4]
(3) y=x+ 1-x2 ;
(3)[-1, 2 ]
(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ; (4)[3, +∞)
(5)
y=
sinx 2-cosx
;
(6)
y=
2x2-x-2 x2+x+1
(3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 .
[0,
3 2
+
2]
三、方程法
利用已知函数的值域求给定函数的值域.
例3 求下列函数的值域:
(1)y=
2x 2x+1
;
(0, 1)
(2)y=
sinx+2 sinx-3
;
[-
32 ,
-
1 4
]
(3)y=3+ 2+x + 2-x ; [5, 3+2 2 ]
【深山倾情】
内在的过度和关联，诗句间跳跃很大。再加上 他多愁善感和政治上的沉浮，使人读起来感到 晦涩难懂。使后人如雾里看花，评价极为分歧。 王渔洋诸人，早就发过“一篇‘锦瑟’解人难” 的感叹。
李商隐一生虽短暂坎坷，但感情的经历绝非 寻常。
李商隐那时二十三岁，太和九年（公元835 年）便上玉阳山东峰学道。而玉阳山西峰的灵 都观里，邂逅了侍奉公主的宫女、后随公
【锦瑟遗情】
中的爱情、怨恨、惆怅和迷惘，该是怎样的 哀恸？以朦胧的意象表达诗人无限迷茫的心 境。
这首诗为李商隐46岁时所作，据说怀恋一 个赠予锦瑟的女子。是令狐楚婢女也好，是 当时贵人爱姬也罢。正如《玉溪生诗集笺注》 说：“吐词含味，妙臻神境，令人知其意而 不敢指其事以实之。”，“透彻玲珑，不可 凑泊。如空中之音，相中之色，水中之月， 镜中之花，言有尽而意无穷”。
【伉俪深情】
情所困，为情所累，留下了这么多哀婉艳丽 的诗篇。
解题
“锦瑟”或名“无题”，题目“锦瑟” 是取句首两字，是一首广为传诵的诗。 有人认为是为名为锦瑟的侍婢而作的缠 绵悱恻的爱情诗，有人也认为可能别有 寄托或悼念亡妻之外，或表现封建士大 夫隐秘难言的爱情生活，也有的以为其 诗是诗人回顾反思平生遭际之作。
【锦瑟遗情】
《锦瑟》 诗为李商隐自题《李义山诗集》 的第一篇。一首《锦瑟》诗，一道千古谜。 历来无人能解，所以莫衷一是。元好问在 《论诗绝句》说：“望帝春心托杜鹃，佳人 锦瑟怨华年。诗家总爱西昆好，只恨无人作 郑笺！”王渔洋也有“一篇锦瑟解人难”之 叹。这首诗辞藻华丽，用典殊多，晦涩难解， 众说纷纭。通篇追忆往事，反复抒发感情破 灭、壮志成灰的无限感慨和遗恨，春宵一刻， 轻怜蜜爱；双飞彩凤、血泪相思，其
【深山倾情】
主入道的女子宋华阳，宋年青美丽，聪慧多情， 两人很快双双坠入情网。
两个多月后，这段超出常规的爱恋，终因不 为礼教和清规容许而豪无结果，短暂的欢娱， 无望的永好，只在李商隐的心中留下了永远的 伤痛。他有些留传至今，荡心动魄的《无题》 诗即完成于此时。
无题 相见时难别亦难，东风无力百花残。 春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干。
(2)求函数 y=sin2x+4cosx+1 的值域. [-3, 5].
二、换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数
函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方
法(关注新元范围).
例2 求下列函数的值域:
(1) y=x- x-1 ;
[
3 4
,
+∞)
(2) y=x+ 2-x2 ; [- 2 , 2]
mx2+8x+n x2+1
的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n＝1+9, mn-16=1×9,
解得 m=5, n=5.
当 m=y 时, 方程即为 8x+n-m=0, 这时 m=n=5 满足条件.
旷世情种李商隐
李商隐诗现存约六百多首，大都以抒情婉曲 见意，往往寄兴深微，想象奇特，余味无穷。 尤其他以男女爱情相思为题材的诗，情思宛转 沉挚，辞藻典雅精丽，摹写入微。能以典型特 征的刻画和环境气氛的渲染，表达事物的内在 神韵，寄寓诗人的情怀。还有一些诗篇激情荡 漾，轻薄浮艳。这些对后世产生过巨大影响。 但他的诗里往往是避实就虚，刻意求曲，打破 了时空顺序，混淆了实虚境界，透过一种象征 手法把感情表现出来。由于省略了表面和
[-
32 ,
-
1 4
]
五、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. 好是满主足要分适母用恒于不形为如零y =).daxx22++ebxx++fc (a, d不同时为零)的函数(最
例5
求函数
y
=
x2-x x2+x+1
的值域.
[1-
2
3 3
,
1+
2
3 3
基本不等式不能求得
y=x+
k x
(k>0)的最值(等号不成立)时.
例7 求下列函数的值域: (1)y=
[5,
+∞)
(2)y=x+
4 x
(0<x≤1);
(3)y=
1-2x
-x;
[-
1 2
,
+∞)
x+3 - x . (0, 3 ]
八、数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离 公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.
[
7 9
,
7 8
]
(4)若f(x+
1-2f(x)
的值域.
四、分离常数法
主要适用于具有分式形式的函数解析式, 通过变形, 将函
数化成
y=a+
b g(x)
的形式.
例4 求下列函数的值域:
(1)y=
2x 2x+1
;
(2)y=
sinx+2 sinx-3
.
(0, 1)
而不快乐。它写得轻灵飘渺，常为
哲学家和文学家所引用。
2、望帝啼鹃
望帝，古代神话中蜀王杜宇的称
号。传说他因水灾让位给他的臣子，
自己隐居山中，死后灵魂化为杜鹃，
1、庄周梦蝶 从前有一天，庄周梦见自己变成
了蝴蝶，一只翩翩起舞的蝴蝶。自 己非常快乐，悠然自得，不知道自 己是庄周。一会儿梦醒了，却是僵 卧在床的庄周。不知是庄周做梦变 成了蝴蝶呢，还是蝴蝶做梦变成了 庄周呢？ 这则寓言是表现庄子齐物 思想的名篇。庄子认为人们如果能 打破生死物我的界限，则无往
典故、传说简释
;
(7)
y=
2x22x--x1+1(
1 2
<x≤
32);
(8) y=x+ x+1 ;
(9)
y=
2-sinx 2+sinx
;
(5)[-
3 3
,
3 3
]
(6)[
1-2 3
13 ,
1+2 13 3
]
(7)[
1+2 2
2
, +∞)
(8)[-1, +∞)
(9)[
1 3
,
3]
(10) y= x2+4 + (x+1)2+9 . (10)[ 26 , +∞)
[- 2 , 2 ]
[
1 2
,
+∞)
九、导数法
对于可导函数, 可利用导数的性质求出函数的最值, 进而 求得函数的值域.
例9 求下列函数在给定区间上的值域:
(1)y=x+
4 x
,
x∈[1,
4];
(2)y=x5-5x4+5x3+2, x∈[-1, 2].
[4, 5] [-9, 3]
值域课堂练习题
1.求下列函数的值域:
颈联：明月生于沧海的时候，我的泪水 如珠，蓝田玉山之上，那玉烟缕缕升腾，何 尝不是从我心中飘出？（典故、传说）
尾联：我痛苦的相思，何须等到今日才 有，就在我倾心于她的那一刻，我就已经感 到惘然若失了。（直抒胸臆）
鉴赏要点
一、构思新奇
开头写锦瑟诉说“一弦一柱思华年”思之 殷切，思之缠绵。声声诉述思念之切。结尾 句“当时惘然” “追忆此情” ，使悲欢离 合之情更令人断肠。可见作者构思之精巧。
鉴赏要点
二、朦胧美
诗人用“庄生”梦中的浪漫神奇想象，把 人人带入美好的梦幻景象，令人神往；又用 “望帝”把心托给“杜鹃”仿佛置身于“杜鹃 啼血”的氛围中，更感受到离别后的思念之深。 梦中的朦胧美如一幅画，雾也朦胧，水也朦胧， 美人鱼落泪，蓝田美玉在阳光下闪光，仿佛燃 烧出缕缕轻烟，冉冉飘拂。
典故、传说简释
故所求 m 与 n 的值均为 5.