§2.2函数的定义域、值域本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的变里的取值范围.2.函数的值域⑴定义在函数y=/(Q中，与自变量r的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域・(2)基本初等函数的值域思考探究函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有什么特点？提示：⑴整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.2.函数的最值与值域有何联系？提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.课前热身1.（教材改编）函数尸伍二+占的定义域为（）A.（—8, —2]B.（一8, 2]C.（一8, -1）U（-1,2]D.[2, +8）答案：C解析：选A.要使加：)有意义，需1 ogl(2x+l)>0=logll,2 2・・.0V2x+lVl, .\-|<x<0.2・若/(兀)=,则/(兀)的定义域为(log ；(2x+l)D. (0, +8)3. （2012-高考江西卷）下列函数中，与函数y=/~定义域相同的\[x 函数为（）A・y=.smx B. j-lnXXC. y=xe x sinxX解析：选D•函数丿=7-的定义域为仪IxHO},选项A中由sinxHOFH乃r, kj故A不对；选项B中x>0,故B不对; 选项C中xGR,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{xlx^O},故选D.4.函数f(x)=Y^p(x^R)的值域为答案：(0,1]X2—x+1 (x<l)5-函数他+ (5)的值域是答案：(0, 4-00)考点1求具体函数的定义域求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义•求下列函数的定义域:2⑵尸玄丙+0-4)。

；(3)j=vfc -【思路分析】求/仗)的定义域，只需使解析式有意义列不等式组即可求得.「2 —IxIHO, [xH±2,【解】⑴由2心"得=r “[x —1^0, kw —1 或xMl.・••函数的定义域为(一8, -2)U(-2, -1]U[1,2)U(2, +8). p>-i 4x+3>0,⑵由* 4x+3Hl,得< xH—*,、5x-4H0, Il咗・••函数的定义域为3 1 id 4(_玄，_RU(—㊁，U(5, +8).(3)由1—e x>0,得eLl,即e x<e°, x<0.・••函数的定义域为{xlx<0}.【领悟归纳】务必使解析式有意义的不等式列完备，如(2)中易丢掉兀工一舟；(3)中易错写为1 一£$0・考点2抽象函数的定义域血（兀）啲定义域为0 b]9指的是x的取值范围为0 码而不是g（Q的取值范围为S b].⑴已知函数沧）的定义域为[1,5],求函数y =A2x）+/（5 —兀）的定义域；⑵已知函数/仗+5）的定义域为©4],求函数尸冷）的定义域.【思路分析】⑴中视“2x”与“ 5 -x ”为一整体适合/匕）的定义域.⑵中兀+5的取值与/⑴的定义域是相同的.【解】⑴•••/⑵的定义域为[1，5],•••{;;;'得鬥,IW5 血£.•.fwxW 多，•'•y=f(^x)+f(5—x)的定义域为{xl*0w|}. ⑵・・・/3+5)的定义域为[0,4],即0WrW4, ・・・50+5£9,・・・/(兀)的定义域为[5,9].【领悟归纳】本例中的题目有本质的区别⑴已知/⑴的定义域，求尬3）啲定义域.（2）已知馆（兀）啲定义域，求/⑴的定义域.两个题目中都要视gd）为一整体，g（Q是复合函数的中间变量.跟踪训练1-本例(2)中题设条件不变，求y=/(lgx)的定义域. 解：由上述解答可知/仗)的定义域为[5,9],•••5WlgxW9, A105^x^l09,•V(lg对的定义域为[诃109].考点3函数的值域求函数的值域时，应首先分析函数解析式的结构特征，以确定求函数值域的方法：配方法、反函数法、判别式法、换元法、基本不等式法、函数单调性法、数形结合法等.函数的最大（小）值就是函数值域中的最大（小）值，与此函数图象的最高（低）点对应.但并非每个函数都有最值.求最值时, 结合后面将要复习的导数，与极值区分开.求下列函数的值域:X 2(2)y=x—\ll—2x；X v(3)J=7+1・【思路分析】（1）是分式型可考虑分离常数法，配方法或者判别式法.（2）是无理函数型，可考虑换元法或者单调性法.（3）可结合反函数求解.【解】(1)法一：(配方法)••了 =1-兀2_；+］，TO X 2—x + l=(x ••ov^—l+W ，法二：(判别式法)2_ 由丿=兀二兀；1，得(y —l)r 2+(l —J )X +J =O.Vj= 1 时，兀丘0,XVxGR, .\A=(l-j)2-4y(y-l)>0.2 2+4>l ・・・一：WyVl ・・・・值域为・・・一冀応1・・・・円，・•・函数的值域为［吕，1)（2）法一：（单调性法）定义域｛兀»,函数尸兀，y=—yll —2x 均在法二：（换元法） I ----[—广 令V\—2x=t,贝且x=~2~.⑶由尸 Ve x >0,即芒〕0,解得一lvyvl.・・・函数的值域为｛yl-l<j<l ｝.・"=一 ％++1W 0), 1"|;上递增 故丿宅―1 2 X V e —1 用得,【领悟归纳】(1)判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知项兀2,则常用此法.通常去掉分母转化为一元二次方程, 再由判别式A^O,确定丿的范围，即为原函数的值域.要注意自变量X是否属于R-(2)若原函数的值域不易直接求解，可以考虑求其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如j =ax+b(oHO)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法.跟踪训练*2 I [2•在例3中，对于⑴变为函数~2_ -,对于⑵变为丿=伍-A/2x-l.如何求它们的值域.若设 r=(x —护一扌；则坨[—£ o )u (o, +8), oo, —4]U(0, +°°), Al+|e (-oo, -3]U(1, +8), 的值域为(一8, —3]U (1, +°°).解: (1)J =x 2—兀+1(2)尸伍-円=伍+注.•・•定义域为百，+8),弘=伍+寸2兀_1在+8)上为增函数,^.u=y]^+yj2x—l^l9•••OvyWl.•“的值域为(OJ]・m已知函数/(x) = log3-8),值域为[0,2],求实数加、【思路分析】设中间变量2为R,且求加，1!X2+8x + nx2 + l的定义域为（一8, + n的值.zwx2+8x+n=x2+l,根据U>Q的解集x 2 + l^(w —/w)x 2—8x+(w —n)=0>Vx^R,且设 u —/nHO,/• A=(—8)2—4(w —/n)(w —n)^O,即 w 2 — (/w+n)w +(/MW —16)^0. 由1W“W9知，关于u 的一元二次方程w 2—(zw+n)-w + (/wn — 16)=0的两根为1和9,由根与系数的关系得,若“一加=0,即u=m = 5时，对应x=0,符合条件, .\m=n = 5为所求.【误区警示】 本题转化为二次方程后，易丢掉"一加=0的讨论. mx 2+8x+n 【解】 m+n=l + 9, inn—16 = 1X9.解得m = n=5.方法技巧1.求定义域的步骤⑴写出使函数式有意义的不等式(组)；(2)解不等式组；(3)写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出).2.对于复合函数求定义域问题，若已知/仗)的定义域[a, b]f 其复合函数/lg(x)啲定义域应由不等Aa<g(x)<b解出.若已知/妝x)啲定义域为[加，n]f冷)的定义域是当兀日加，n]时g(x)的值域.3.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围，利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域.4.函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“成立的条件.失误防范1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.2.求解有关函数定义域、值域问题时，易忽略函数定义要求的定义域，值域为非空数集.3.求复合函数定义域问题时，忽视中间变量的取值.命题预测在高考中本节内容是考查的重点，或者直接考查，或者以本节内容为背景结合其他知识点进行考查，例如定义域与反函数结合，定义域与根式函数，对数、指数函数及集合的运算相结合，解析式与求函数值结合, 值域与求最值结合.2012年的高考中，单独考查函数定义域的省份不多，单独考查值域的也不多.预测2014年的高考中主要是(1)与不等式的考查相结合，以选择、填空题的形式考查定义域的求法；(2)与函数的单调性相结合，考查函数的值域或最值的求法，一般出现在解答题中.规范解答兀(单位：元/千克)满足关系式10(x—6)2,其中3<r<6,为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.⑴求。

的值;(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格兀的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解】⑴因为兀=5时，j = ll, 所以号+10=11, a = 2.(3 分)2(2)由(1)可知，该商品每日的销售量J=—+10(x-6)2e所以商场每日销售该商品所获得的利润/(X)=(X-3)疋〒 +103—6)2=2+ 10(x—3)(x—6)2,3<x<6e从而，f f (x)=10[(x—6)2+2(x—3)(x—6)] = 30(x—4)(x—6). (6分)于是，当兀变化时，f f(X), /(对的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数仗）在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点.所以，当兀=4时，函数/仗）取得最大值，且最大值等于42.（10 分）即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.（12分）【名师点评】本题主要考查函数的实际应用，求最值的能力以及解决实际问题，处理数据的能力.本题也是现代生活人们关心的问题，题目的设计内容对考生是公平的.第(1)问是基础，提醒考生首先求a的值，第(2)问先求表达式再求最值，即可用求导法，难度属于中档，易出错和不规范的地方是没有求a值的过程，特别是不写定义域，造成了得不到满分的现象.点击进入本部分内容讲解结束。