常常使用的基本不等式有以下几种： a＋b 2 2 a ＋b ≥2ab(a，b 为实数)； ≥ ab(a≥0， 2 2 2 a＋b 2 a ＋ b b≥0)；ab≤ ≤ 2 (a，b 为实数)． 2
(7)单调性法——根据函数在定义域(或定义域的某个子集) 上的单调性求出函数的值域． (8)导数法——当一个函数在定义域[a,b]上可导时， 可据其 导数求最值； (9)数形结合法——当一个函数图像可作时，通过图像可 求其值域和最值
注：变形后的二次项系数是否含有y， 若含有y，则要分二次项系数为零和不 为零两种情况进行讨论
(5)换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化成值 域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：形如 y＝ax＋b± cx＋d(a、b、c、d 均为常数，且 ac≠0)的函数常 用此法求解． (6)不等式法——利用基本不等式： a＋b≥2 ab(a、 b∈R＋) 求函数的值域． 用不等式法求值域时， 要注意均值不等式的使 用条件“一正、二定、三相等”．
2
(2)
y
x 1 x2
(4) y x 1 x
2－sinx (6)y＝ . 2＋sinx
(5)y＝４－ 3＋2x－x ；
(５)y＝4－ 3＋2x－x2
[解析] (1)(配方法)：由 3＋2x－x2≥0，得－1≤x≤3. ∵y＝4－ －x－12＋4， ∴当 x＝1 时，ymin＝2.当 x＝－1 或 3 时，ymax＝4. ∴函数值域为[2,4]．
(５)y＝2x＋4 1－x； 采用换元法． 设 t＝ 1－x≥0，则 x＝1－t2，于是 y＝－2t2＋4t＋2＝－ 2(t－1)2＋4(t≥0)，故可知 y∈(－∞，4]． (６)y＝x－ 1－x2； 利用三角代换法． 因为|x|≤1，所以设 x＝cosθ，θ∈[0，π]， 则 y＝cosθ－sinθ＝
(８)y＝x5－5x4＋5x3＋2，x∈[－1,2]． y′＝5x4－20x3＋15x2， 令 y′＝0，得 5x4－20x3＋15x2＝0，
利用导数
即 5x2(x－3)(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1，x3＝3. 由于 x3∉[－1,2]，所以只要比较 f(0)，f(1)，f(－1)，f(2)． 由解析式可知：f(x)最大值为 3，最小值为－9. 故值域为[－9,3]．
2－sinx (６)(利用三角函数有界性)由 y＝ ， 2＋sinx －2y＋2 解得 sinx＝ ， y＋1 －2y＋2 ∵－1≤sinx≤1，∴－1≤ ≤1. y＋1 －2y＋2 1 由 ≤1 得 y<－1 或 y≥3， y＋1 －2y＋2 由 ≥－1 得，－1<y≤3， y＋1 1 ∴所求函数值域为[3 ,3]．(你会用分离常数求解吗？)
(2)y＝2x2＋x
[解析] (1)采用配方法 ∵y＝2x
2Байду номын сангаас
12 1 1 ＋x＝2x＋4 －8≥－8，
2
∴函数 y＝2x ＋x
1 的值域是－8，＋∞.
2x＋1 (3)y＝ x－1 解法 1：(反函数法) 2x＋1 3x＋1 ∵y＝ 的反函数为 y＝ ，其定义域为{x|x≠2}， x －3 x－2 ∴原函数的值域是{y|y∈R 且 y≠2}． 2x＋1 2x－3＋7 7 解法 2： (分离常数法)∵y＝ ＝ ＝2＋ ， x－3 x－3 x－3 7 其中 ≠0， x－3 2x＋1 ∴y＝ 的值域是(－∞，2)∪(2，＋∞)． x －3
(5)y＝logax(a>0，且 a≠1)的值域是 R .
(6)y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的值域分别为 [－1,1]，R .
[－1,1]，
二．求函数值域的方法 求函数的值域是高中数学的难点， 它没有固定的方法和模 式．常用的方法有： (1)观察法——从自变量 x 的范围出发， 通过观察和代数运 算推出 y＝f(x)的取值范围； (2)配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方 法，形如 F(x)＝af 2(x)＋bf(x)＋c 且 f(x)的值能取到全体实数的 函数的值域问题，均可使用配方法．
π 2cosθ＋4.
π π 5π ∵θ∈[0，π]，∴4≤θ＋4≤ 4 ，
π 于是－1≤cosθ＋4≤
2 2 ，即得知－ 2≤y≤1.
∴函数的值域为[－ 2，1]．
[ 点评 ] 对于形如 y ＝ ax ＋ b ＋ cx＋d 的函数，令 t ＝
cx＋d，使之变形为二次函数，对于含 a2－x2结构的函数， 可利用三角代换，令 x＝acosθ，θ∈[0，π]，或令 x＝asinθ，θ
函数的值域
一．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域为 R . (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是当 a>0 时，值域为
4ac－b2 ，＋∞ 4a
2 4 ac － b －∞， 4a
；当 a<0 时，值域为
.
k (3)y＝x(k≠0)的值域是 {y|y∈R 且 y≠0} ． (4)y＝ax(a>0，且 a≠1)的值域是 (0，＋∞)．
(3)反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域 的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形 cx＋d 如 y＝ (a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外， ax＋b 这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．
(4)判别式法——把函数转化成关于 x 的二次方程 F(x，y) ＝0，通过方程有实根，判别式 Δ≥0，从而求得原函数的值 a1x2＋b1x＋c1 域．形如 y＝ 2 (a ，a 不同时为零)的二次分数函数 a2x ＋b2x＋c2 1 2 的值域常用此法求解． 前提条件：①不限制函数的定义域；②分子、分母没有公 因式．
π π ∈－2，2转化为三角函数.
4 (７)y＝x＋
x
(利用不等式)
4 ∵函数 y＝x＋ x 是定义域为{x|x≠0}上的奇函数，故其图 像关于原点对称，故只讨论 x>0 时，即可知 x<0 时的最值和值 域． 4 ∵当 x>0 时，y＝x＋x ≥2 4 x· x ＝4，
当且仅当 x＝2 时，等号成立， ∴当 x<0 时，y≤－4. 综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
(９)y＝|x－1|＋|x＋4|； 解法 1：(图像法) －2x－3 x≤－4 y＝5 －4<x<1 2x＋3 x≥1
画图像如下
从图像可知：y≥5，即值域为[5，＋∞)．
练习：求下列函数的值域． (1) y 3 4 x
(3) y 1 2 x 2 3x 1
求函数的值域
[例 1] 求下列函数的值域
1 (1) y x 2 2
(2)y＝2x2＋x；
4x 3 2x＋1 y 2 (3)y＝ ；(4) x 1 x－1
(5)y＝2x＋4 1－x；(6)y＝x－ 1－x2；
4 y x ( x 0) (7) x
(8)y＝x5－5x4＋5x3＋2，x∈[－1,2]． (9)y＝|x－1|＋|x＋4|；