【人教A 版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义（学生版）【重难点知识点网络】：1 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.ααααcos sin 21)cos (sin 2±=±ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 3 二倍角公式及降幂公式sin 22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-.221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==4 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=； 函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=.三角函数的图像：【重难点题型突破】： 一、和差公式的化简及求值例1．（1）（2019·山东高一期末）10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=（ ）A ．2B． C ．12D ．12-（2）．（2018·广东高一期末）sin 49sin19cos19sin 41︒︒+︒︒=（）A ．12B ．12-CD ．【变式训练1-1】、（1）．（2019·兰州市第五中学高一期末）sin15=（ ）A ．4B ．4C ．24+ D ．4（2）．已知()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1318B ．1322C ．322D ．518例2．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知tan 3α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．45【变式训练2-1】、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）已知(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，1cos(),cos()4342ππβα+=-=，则cos()2βα+=（ ）A ．3B ．3-C ．9D ．9-二、 二倍角公式与半角公式的顺用与逆用例3．（2020·河南省安阳市高三一模（理）已知cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-【变式训练3-1】、（2020·安徽省淮北市高三一模（理）已知锐角α满足sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．B ．-C ． D【变式训练3-2】、（2020·广西师大附属外国语学校高三一模（理））已知α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin α⋅ tan 0α< ）A ．15B ．15-C ．3D ．3-三、 辅助角公式的应用例4．（2020届湖北省高三模拟）函数()()2cos 22f x x x ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的单调增区间为（ ）A ．63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，B ．36k k k Z ，，ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，D ．51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，【变式训练4-1】、（2020·福建省厦门市高三质检（理）已知函数1()sin (cos sin )2f x x x x =-+. （1）求()f x 的单调递减区间；【变式训练4-2】、已知函数()1sin cos 22f x a b x a x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()223g x x x m =-+-，若对任意的[]10,x π∈，总存在[]22,x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.四、 五点法作图例5．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈【变式训练5-1】、（2020届安徽省合肥市高三第二次质检）函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的 D ．函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭例6．（2019·石嘴山市第三中学高一月考）已知函数323y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图象．（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为)12π（2）请描述上述函数图象可以由函数y ＝sin x 怎样变换而来？【变式训练6-1】、（2018·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝2sin(2)4x π+(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)在所给坐标系中画出函数f(x)在区间4[,]33ππ上的图象(只作图不写过程)．【人教A 版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义（教师版）【重难点知识点网络】：1 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.ααααcos sin 21)cos (sin 2±=±ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 3 二倍角公式及降幂公式sin 22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==4 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=； 函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 三角函数的图像：【重难点题型突破】： 一、和差公式的化简及求值例1．（1）（2019·山东高一期末）10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=（ ）A B． C ．12D ．12-【答案】 A 【解析】由诱导公式102080201020sin1020cos cos cos sin cos cos sin ︒-︒︒=︒-︒︒1020sin1020cos(1020)cos30cos cos sin ︒-︒︒=︒+︒=︒=，所以选择A（2）．（2018·广东高一期末）sin 49sin19cos19sin 41︒︒+︒︒=（）A ．12B．12-C ．2D ． 【答案】C 【解析】sin 49sin19cos19sin 41︒︒+︒︒cos41sin19cos19sin 41=︒︒+︒︒()sin 1941=︒+︒=. 故选：C.【变式训练1-1】、（1）．（2019·兰州市第五中学高一期末）sin15=（ ）A．4B．4C．24+ D．4【答案】B 【解析】()62sin 6045sin 60cos 45sin 45cos 604-︒-=︒-=故选：B（2）．已知()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1318B ．1322C ．322D ．518【答案】C 【解析】因为()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭，所以()()()tan tan 34tan tan 44221tan tan 4παββππααββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭，故选:C例2．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知tan 3α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．45【答案】A【解析】22222222cos sin 1tan 4sin 2cos 2cos sin 2cos sin 1tan 5παααααααααα--⎛⎫+==-===- ⎪++⎝⎭. 故选A 。

【变式训练2-1】、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）已知(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，1cos(),cos()43423ππβα+=-=，则cos()2βα+=（ ）A ．3B ．3-C ．9D ．9-【答案】C【解析】因为(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，所以3,444απππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又1cos()043πα+=>，所以,442πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin()43πα+===sin()423πβ-===， cos()cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos cos sin sin 442442442ππβππβππβααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133==，故选C 。

二、 二倍角公式与半角公式的顺用与逆用例3．（2020·河南省安阳市高三一模（理）已知cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-【答案】C【解析】由cos(2019)3πα+=-可得cos()3πα+=-，∴cos 3α=， ∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-。