【重要结论】
1.双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)中,过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为 2b2 .
a2 b2
a
2.双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长.
3.已知双曲线 x2 - y 2 =λ(a>0,b>0,λ≠0)求其渐近线的方程只需把λ改写 a2 b2
为 0 整理即可.
夯基自测
所以点 P 的坐标是(8,±3 3 ).
答案:(8,±3 3 )
5.(2016 河北质量监测)若双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐 a2 b2
近线的距离等于焦距的 1 ,则该双曲线的离心率是
.
4 解:设双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线为
y=
b
x,
a
| bc | 则a =
bc
= bc =b= 1 ×2c.即 c=2b.
1
b2 a2
a2 b2 c
4
所以 c=2 c2 a2 ,即有 3c2=4a2.所以 e= c = 2 3 . a3
答案: 2 3 3
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 双曲线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2015 高考福建卷)若双曲线 E: x2 - y 2 =1 的左、右焦点分别为 9 16
(A)x2- y 2 =1 4
(B) x2 -y2=1 4
(C)x2- y 2 =1 2
(D) x2 -y2=1 2
解析:对于 A,令 x2- y 2 =0,得 y=±2x; 4
对于 B,令 x2 -y2=0,得 y=± 1 x;
4
2
对于 C,令 x2- y 2 =0,得 y=± 2 x; 2
对于 D,令 x2 -y2=0,得 y=± 2 x.故选 A.
标准方程
a、b、c 间 的关系
x2 - y 2 =1(a>0,b>0) a2 b2
y 2 - x2 =1(a>0,b>0) a2 b2
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
3.等轴双曲线的定义及性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为 x2-y2=λ(λ≠0),离心 率 e= 2 .渐近线方程为 y=±x .它们互相 垂直 ,并且平分实轴和虚轴所 成的角.
的轨迹方程为
.
解析:(2)设动圆 M 的半径为 R, 则|MC|=2+R,|MA|=R, 所以|MC|-|MA|=2, 由双曲线的定义知,M 点的轨迹是以 A,C 为焦点的双曲线的左支, 且 a=1,c=3, 所以 b2=8,
则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2- y 2 =1(x<-1). 8
答案:(2)x2- y 2 =1(x<-1) 8
顶点坐标: A1 (0,-a) ,A2 (0,a)
y=± a x b
离心 率
实虚 轴
e= c ,e∈(1,+∞) ,其中 c= a2 b2 a
线段 A1A2 叫做双曲线的 实轴 ,它的长|A1A2|= 2a ;线段 B1B2 叫做双曲线 的 虚轴 ,它的长|B1B2|= 2b ;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半 轴长
标准方程 x2 - y 2 =1(a>0,b>0) a2 b2
y 2 - x2 =1(a>0,b>0) a2 b2
图形
范围 对称 性
顶点
性 渐近 质线
x≥a 或 x≤-a 对称轴: x轴、y轴
对称中心: 坐标原点 顶点坐标: A1 (-a,0) ,A2 (a,0)
y=± b x a
y≥a 或 y≤-a
提示:若A>0,B<0表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0表示焦点在
y轴上的双曲线,当上述两种条件都不满足时,不表示双曲线,所以
Ax2+By2=1表示双曲线的条件是AB<0.
知识梳理
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的 差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点间的距离叫 做双曲线的 焦距 . 2.双曲线的标准方程及简单几何性质
2
2
3.(2016 贵州模拟)已知双曲线 x2+my2=1 的虚轴长是实轴长的两倍,则实数 m 的值是( B )
(A)4 (B)- 1 (C) 1
4
4
(D)-4
解析:因为双曲线 x2+my2=1 的标准方程 x2- y2 =1, 1 m
虚轴长是实轴长的两倍,
所以 2× 1 =2×2.解得 m=- 1 .
F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )
(A)11 (B)9 (C)5
(D)3
解析:(1)|PF1|=3<a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得 |PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.
答案: (1) B
(2)已知圆 C:(x-3)2+y2=4,定点 A(-3,0),求过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M
第4节 双曲线
最新考纲 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程、知道它的 2.理解数形结 简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 合思想的应用.
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹 一定为双曲线吗? 提示:只有当0<2a<|F1F2|时,动点的轨迹才是双曲线,当2a=0时,动点 的轨迹是线段F1F2的中垂线;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端 点的两条射线;当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在. 2.方程Ax2+By2=1表示双曲线的条件是什么?
1.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( C )
(A)双曲线
(B)双曲线左边一支
(C)一条射线 (D)双曲线右边一支
解析:因为|MN|=4,|PM|-|PN|=4, 所以动点P的轨迹是一条射线,故选C.
2.(2015 高考安徽卷)下列双曲线中,渐近线方程为 y=±2x 的是( A )
m
4
4.双曲线 x2 - y 2 =1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 6,则点 P 的坐标 16 9
是
.
解析:设点 P 的坐标为(x0,y0),
由题意可知
(
x0
ห้องสมุดไป่ตู้
x02
5)2 y02 y02 1,
36,
16 9
解这个方程组得
x0
8,
或
x0
8,
y0 3 3 y0 3 3,