p
5ห้องสมุดไป่ตู้NS方程的另一形式（旋涡扩散方程）
DΩ (Ω ) v 2Ω Dt
7.2.3 粘性流体运动的基本特征
• 运动的有旋性： Ω 0 • 旋涡的扩散性：使涡量趋于均匀
• 能量的耗散性：质量力和表面力所作的
功只有一部分变成动能，而另一部分则被
粘性应力耗损变成了热能。
7.2.2 Navier-Stokes方程
const
可压缩流体： Dv f 1 p 2 v v Dt 3
Dv 1 不可压流体： f p 2 v Dt
Du 1 p 2 fx u Dt x Dv 1 p fy 2v Dt y Dw 1 p fz 2 w Dt z
讨论速度分布、流量及阻力。
dp ：压力梯度； dx
f ：圆管水平放置，截面上压力均布。 0
r a o u
0
x
1. NS方程（柱坐标系（r,θ,z）中）：
v2 Dvr v 1 p 2 v fr 2 vr 2 r 2 Dt r r r r Dv v r v 1 p 2 v r v 2 f v 2 2 Dt r r r r Dvz 1 p 2 fz v z Dt z D 2 1 1 2 2 2 vr v vz 2 2 2 2 Dt t r r z r r r r z


3.流量与平均流速
p 2 u max a 平均速度: 4 l 2 4 a a a 体积流量： Q u 2 rdr u max p 0 2 8 l
1 u m u max 2
——（Hagen-Poiseuille定律，1939）。
4 成正比， 与压力降 、 半径 a Q p 圆管内的流量
r 0 处 u 有限值，得 c1 0 ； u 边界条件：
r a
0
a 2 dp c2 4 dx
速度分布为
u
1 dp 2 a r2 4 dx


d p p dx l
若 l 长度管道内压力降 p p1 p2 0 则
r2 1 p 2 2 or （抛物面） u u max 速度 u a r 1 a 2 4 l
0
Euler eq.
v 0
静力学方程
4. 方程组的封闭性：
未知量 5个： 基本方程(4个):
p, , u,v,w
( v) 0 t
Dv 1 2 f p v v Dt 3
补充方程(状态方程)： const
y h o -h
y
U x
P= -3 -1 0 1 3
u y h 0, u yh U v y h 0
简化为
(d ) (e)
2h 2 d p P U d x
h
o -h
d 2 u 1 dp const 2 dx dy
umax
dp 0 dx
x
速度分布： （Couette流动）
与角变形速度关系
u x v p yy p 2 y w p zz p 2 z p xx p 2
与线变形速度关系
本构方程属于物理方程，它的重要性在于建立了应 力场与速度场之间的关系，将作为粘性流体运动微分方 程组的补充方程。
U u 2 y h 2 dp y2 y 1 1 , 1 1 2 h h 2 dx h
P= -3
y h U x -1 0 1 3 o
dp 纯剪切 U 0, 0 dx
U y y u 1 , 1 1 2 h h
-h
Poiseuille dp h 2 dp y2 y2 y U 0, 0 u 1 u 1 , 1 1 max 2 dx 2 dx h 2 h h
速度最大值： 平均速度：
u max
1 dp 2 h 2 dx
其中
分析：
（1）轴对称流，柱坐标系（ r, , x）中 u u (r ) （2）直线运动，不计质量力，压力只是 x 的函数
p p x
2. 速度分布： NS方程简化为
1 d du 1 dp r r dr dr dx
对r 积分
u
1 dp 2 r c1 ln r c 2 4 dx
波长：
y

频率 不很低时，粘性影响的范
2 2 2 k
2
t
0 0
围（边界层）很薄，离开板面一个波
长（ y
①π/2 ②π ③3π/2 ④2π 3π/2
）的地方流体振幅为
2
u e
U 0.002 U
②π
③
① π/2
ωt=0,2π ④
u/U
7.3.3 圆管内的定常层流运动
而与粘性系数 及管长 l 成反比。 4.阻力及阻力系数（层流） u p r 剪应力分布: r 2l
管壁剪应力： 0 摩擦阻力：
p a 2l
0
1 2 u m 8
F 0 2al a 2 p
压力降（或沿程损失）：
l 1 2 p u m d 2
（NS方程）
Discussion:
Dv 1 f p 2 v v Dt 3
1. 物理意义：单位质量流体惯性力、质量力、压力合力和
粘性力平衡。粘性力包括剪应力与附加法向应力。
2. 适用条件：（1） const （2）层流运动； （3）湍流瞬时运动。 3. 简化情形： NS eq. Newton流体；
y
h
o
平板上剪应力： du 0
dy
2 u m u max 3

y h
umax
dp 0 dx
x
dp h dx
-h
压力梯度使速度剖面为抛物型——层流运动的特征。
7.3.2往复振荡平板引起的层流流动
平板运动引起粘性效应的扩散。 流场速度分布：
y o u=Ucos t x
u U e ky cosky t ——粘性扰动波。
P ipx jp y kpz pijeie j p x pxx p y p yx p p z zx pxy p yy pzy pxz p yz pzz
z
p y
C
dz
px
n
pn
B
应力张量 切向应力 法向应力
A
dx
M dy
y
x
pz
pn nxpx nyp y nzpz n P
P pijeie j
y
p yx
p yx y
y
x
pij p ji
pxy
二阶对称张量，九个分量中六个独立。 主应力： oxyz
To find
y o
x
p xy
p xy x
x
ox y z
pyx
pij 0
(i j )
pij＝0
y
y
a
ei e j pij e i e j pij e1e1 p11 e 2 e 2 p22 e 3e 3 p33 p22 p33 pxx pyy pzz const 可证： p11
DΩ (Ω ) v 2Ω Dt
7.3 不可压缩粘性流动的准确解
简单流动问题中非线形项自动消失，能得到准确解。
7.3.1 平行平板间定常层流流动——Couette流动
u v 0 (a) x y 2u 2u u u 1 p u v 2 （b） 2 x y x x y 2v 2v v v 1 p u v 2 （c） 2 x y y x y
x
z
o
z
x
运动粘性流体中的压力：定义为三个法向应力的算术平均值
1 1 p ( p11 p 22 p33 ) ( p xx p yy p zz ) 3 3
7.1.2 广义Newton内摩擦定律——本构方程
本构方程：流体性质决定的应力与变形之间的关系。 二元平行流： p yx u y 三维流动：
Dv 1 p x p y p z f Dt x y z
( v) 0 t
未知量10个：u v w p xx p yy p zz 需补充方程：6个（本构方程式）。
p xy p xz p yz
基本方程： 4个（连续方程、运动方程）
流体从某截面开始流经
or
2 l um h f (层流和湍流) d 2g
p
l
长度时克服摩擦阻力损失了 p 的压力。
沿程阻力系数 圆管层流:

4F 1 2 um dl 2
7.2 粘性流体的运动方程(N-S方程)
7.2.1 用应力表示的运动微分方程
取微元正六面体。M点处：
pz
-py
、v、p x、p y、p z、f
牛顿第二定律：
z
p z z z x
-px
z
y
M
py
p y y
y
y
p p x x x x
-pz
ma F
x