T T
T
3． 答案:
不能由 1 , 2 , 3 线性表示． (2) q 2 且 p 1 时, 可由 1 , 2 , 3 唯一表示， 1 2 2
(1) q 2 时,
4． 答案: 当 a 0 且 a b 时有唯一解; 当 a 0 且 a b 时有无穷多解; 当 a 0 且 b 任意时无解． 5． 答案: 当 p 2 时有唯一解;当 p q 2 时有无穷多解;当 p 2且q 2 时无解．
1 2 2 3 1 1 1 b2 2 b
3 1 5 0 a 行变换 0 c 0 c 1 0
2 1 0 0 0
1 a2 2 , 因此 a 2, c b 1, c b 1 ,又 b 0 c b 1 c b 2 1 3
3 x1 x 2 6 x3 4 x 4 2 x5 0 2． 求通解: 2 x1 2 x 2 3 x3 5 x 4 3 x5 0 x 5x 6 x 8x 6 x 0 2 3 4 5 1
3． 已知 1 (1,4,0,2) ， 2 (2,7,1,3) ， 3 (0,1,1, p ) , (3,10, q,4) ，问：
求 p, q 的值及方程组的通解． 9． 已知方程组
x1 2 x 2 3 x3 0 x1 bx 2 cx3 0 （1） 2 x1 3 x 2 5 x3 0 与（2） 同解，求 a, b, c 的值 2 2 x1 b x 2 (c 1) x3 0 x x ax 0 2 3 1
T T T T
（1） p, q 取何值时， 不能由 1 , 2 , 3 线性表示？ （2） p, q 取何值时， 可由 1 , 2 , 3 唯一表示，并写出表示式．
x1 x 2 x3 1 4． 当 a, b 取何值时，方程组 2 x1 ( a 2) x 2 (b 2) x3 3 有唯一解?有无穷多解?无解? 3ax (a 2b) x 3 2 3 x1 x 2 2 x3 3 x 4 0 x 3 x 6 x 2 x 1 1 2 3 4 5． 当 p, q 取何值时，下列方程组有唯一解?有无穷多解?无解? x1 5 x 2 10 x3 x 4 q 3 x1 x 2 px3 4 x 4 1 x1 3 x 2 2 x3 4 x 4 1 6． 当 a 为何值时，方程组 x 2 ax3 ax 4 1 有解?并求通解． x 2 x 3x 3 1 2 3 2 x1 x 2 x3 2 7． 当 p 取何值时, 下列方程组有解?并求通解． x1 2 x 2 x3 p x x 2x p 2 2 3 1 x1 x 2 x3 x 4 1 8． 已知非齐次线性方程组 4 x1 3 x 2 5 x3 x 4 1 有 3 个线性无关的解, px x 3 x qx 1 2 3 4 1
2 3 (0,1,2,3) T ，则线性方程组 Ax=b 的通解为__________．
3． 已知列向量组 1 , 2 , 3 线性无关， 4 1 2 3 , 2 1 2 3 4 ,
A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ,则 Ax 的通解为__________．
10． 求一个以 1 (1,1,1,2)
T
2 (2,1,3,5) T 为基础解系的齐次线性方程组。
第四章 线性方程组自测题答案与提示
一．填空题
1． 3 1． B 2． x k (2,3, 4,5) (1, 2,3, 4) , k R
T T
3． x k (1, 1,1, 1) (2, 1,1,1) , k R
第四章
线性方程组自测题
一．填空题
1 2 2 1． 设 A 4 t 3 ,B 为三阶非零矩阵,且 AB=0,则 t=________． 3 1 1 T 2． 设 1 , 2 , 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 R A 3 ， 1 (1,2,3,4) ，
2． 已知 1 , 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解,
1 , 2 是对应的齐次线性方程组 Ax=0
1 2
2
的基础解系,设 k1 , k 2 为任意常数,则_________是方程组 Ax=b 的通解． A． k1 1 k 2 ( 1 2 ) C． k1 1 k 2 ( 1 2 ) 3． 设 1 (a1 , a 2 , a3 )
a 10 2 2 a 1 6． 答案: 当 a 2 时有解, 通解为 x k (3,0,1,1) ( 7a 2 , a 2 , a 2 ,0)
T
T
7． 答案: 当 p 2 或 p 1 时方程组有解;当 p 1 时, 通解为 x k (1,1,1) (1,0,0) ;
二． 单项选择题
1． 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 A 0 ,若 1 , 2 , 3 , 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解,
*
则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系____________． A． 不存在． C． 含有两个线性无关的解向量． B． 仅含一个非零解向量． D． 含有三个线性无关的解向量．
T T
当 p 2 时, 通解为 x k (1,1,1) (2,2,0) ．
T T
8． 答案: p 2 , q 3 ; x k1 (2,1,1,0) k 2 (4,5,0,1) (2,3,0,0) ．
T T T
提示: 对应齐次线性方程组有 2 个线性无关的解． 9． 答案： a 2, b 1, c 2 简解: (1)与(2)要同解,所以 b 0 ．当 b 0 时, 方程组(2)有 3 个变量,但只有 2 个方程,显然会有非零 解,因此方程组(1)也有非零解．
T T
二． 单项选择题
2． B 3． D
T
4． D
T T T
三． 解答题
3 4 1． 答案: x k1 ( 3,1,0,0,0) k 2 (7,0,1,5,0) k 3 (1,0,2,0,5) ( 5 ,0, 5 ,0,0)
2． 答案: x k1 (9,3,4,0,0) k 2 (3,7,0,4,0) k 3 ( 1,5,0,0,4)
简解: 设所求方程组的系数矩阵为 A,则秩(A)=2,设 A
均为方程组
x1 x 2 x3 2 x 4 0 的解，取该方程组的基础解系作为 A 的行向量组即可。 2 x1 x 2 3 x3 5 x 4 0
求得 a 2, b 1, c 2 ．
10． 答案:
2 x1 5 x 2 3 x3 0 注: 答案不唯一． 7 x1 x 2 3 x 4 0 a11 a12 a 21 a 22 a13 a 23 a14 ， 则 A 的 2 个行向量 a 24
A． B．
1 , 2 , 3 线性相关． C． 秩( 1 , 2 , 3 )=秩( 1 , x 2 3 x3 2 x 4 x5 3 2 x 6 x x 3x 2 1 2 3 4 1． 求通解: x1 3 x 2 2 x3 x 4 x5 1 3 x1 9 x 2 4 x3 5 x 4 x5 5
(i 1,2,3) 交于一点的充要条件是_______．其中 ai2 bi2 0 (i 1,2,3) ．
1 , 2 , 3 线性无关． D． 1 , 2 , 3 线性相关, 1 , 2 线性无关． A 4． 设 A 是 n 阶方阵, 是 n 维列向量,若秩 T 0 =秩(A),则下列结论中正确的是_______． B． Ax 必有唯一解． A． Ax 必有无穷多解． A x A x C． D． y T 0 T 0 0 仅有零解． 0 必有非零解． y
T
1 2
2
．
B． k1 1 k 2 ( 1 2 ) D． k1 1 k 2 ( 1 2 )
1 2
2
1 2
2
2 (b1 , b2 , b3 ) T 3 (c1 , c 2 , c3 ) T ,则三条直线 ai x bi y ci 0