数学初中竞赛逻辑推理专题训练一.选择题1.某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念(站成一行),若老师站在中间,则不同的站位方法有()A.6种B.120种C.240种D.720种2.钟面上有十二个数1,2,3,…,12.将其中某些数的前面添上一个负号,使钟面上所有数之代数和等于零,则至少要添n个负号,这个数n是()A.4 B.5 C.6 D.73.仪表板上有四个开关,每个开关只能处于开或者关状态,如果相邻的两个开关不能同时是开的,那么所有不同的状态有()A.6种B.7种C.8种D.9种4.小明训练上楼梯赛跑.他每步可上2阶或3阶(不上1阶),那么小明上12阶楼梯的不同方法共有()(注:两种上楼梯的方法,只要有1步所踏楼梯阶数不相同,便认为是不同的上法.)A.15种B.14种C.13种D.12种5.如图,2×5的正方形网格中,用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖,则不同的覆盖方法有()A.3种B.5种C.8种D.13种6.﹣2和2对应的点将数轴分成3段,如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之一段,那么n的最小值是()A.5 B.6 C.7 D.87.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则.如图,堆栈(1)的2个连续存储单元已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈(2)的3个连续存储单元已依次存人数据e,d,c,取出数据的顺序则是c,d,e,现在要从这两个堆栈中取出这5个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有()A.5种B.6种C.10种D.12种8.用六根火柴棒搭成4个正三角形(如图),现有一只虫子从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后,到了C点,则不同的爬行路径共有()A.4条B.5条C.6条D.7条9.将四边ABCD的每个顶点涂上一种颜色,并使每条边的两端异色,若共有3种颜色可供使用(并不要求每种颜色都用上),则不同的涂色方法为()种.A.6 B.12 C.18 D.2410.如图所示,韩梅家的左右两侧各摆了3盆花,韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花,先选择左侧还是右侧,然后搬该侧离家最近的,要把所有的花搬到家里,共有()种不同的搬花顺序.A.8 B.12 C.16 D.2011.如图,在一块木板上均匀钉了9颗钉子,用细绳可以像图中那样围成三角形,在这块木板上,还可以围成x个与图中三角形全等但位置不同的三角形,则x的值为()A.8 B.12 C.15 D.1712.初二(1)班有37名学生,其中参加数学竞赛的有30人,参加物理竞赛的有20人,有4人没有参加任何一项竞赛,则同时参加这两项竞赛的学生共有()人.A.16 B.17 C.18 D.19二.填空题13.湖南卫视推出的电视节目《我是歌手第三季》于3月27日落下帷幕,歌手韩红夺得歌王称号.在这个节目中,每场比赛7位歌手的成绩排位顺序是由现场500位大众评委投票决定的,每场比赛每位大众评委有3张票(必须使用)以投给不同的3位歌手.在某一场比赛中,假设全部票都有效,也不会产生并列冠军,那么要夺得冠军至少要获得张票.14.如图,在一个4×4的方格棋盘的A格里放一枚棋子,如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格,那么这枚棋子走28步后到达B处.(填“一定能”或“一定不能”或“可能”)15.将红、白、黄三种小球,装入红、白、黄三个盒子中,每个盒子中装有相同颜色的小球.已知:(1)黄盒中的小球比黄球多;(2)红盒中的小球与白球不一样多;(3)白球比白盒中的球少.则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是.16.在表达式S=中,x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列(即:x1、x 2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数,且x1、x2、x3、x4互不相同).则使S为实数的不同排列的种数有种.17.如图,一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物,要求同一个区域中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物,现有4种不同的植物可供选择,那么有种栽种方案.18.6名乒乓球运动员穿着4种颜色的服装进行表演赛,其中2人穿红色的,2人穿黄色的,1人穿蓝色的,1人穿黑色的.每次表演选3人出场,且仅在服装颜色不同的选手间对局比赛,具体规则是:(1)出场的“3人组”中若服装均不相同,则每两人都进行1局比赛,且比赛过的2名选手在不同的“3人组”中再相遇时还要比赛.(2)出场的“3人组”中若有服装相同的2名选手,则这2名选手之间不比赛,并且只派1人与另1名选手进行1局比赛.按照这样的规则,当所有不同的“3人组”都出场后,共进行了局比赛.19.将1、2、3、…、64填入右图8×8的表格中,每格一个数.如果某格所填的数至少大于同行中的5个,且至少大于同列的5个,那么就将这个格子涂上红色.涂上红色的格子最多个.三.解答题20.120人参加数学竞赛,试题共有5道大题,已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对,如果至少做对3题便可获奖,问:这次竞赛至少有几人获奖?21.某校一间宿舍里住有若干位学生,其中一人担任舍长.元旦时,该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡,并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡,这样共用去了51张贺卡.问这间宿舍里住有多少位学生.22.世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛,采用单循环赛制(即每两个队之间要进行一场比赛),每场比赛获胜的一方得3分,负的一方得0分,如果两队战平,那么双方各得1分,小组赛结束后,积分多的前两名从小组出线.如果积分相同,两队可以通过比净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名,确保有两支队伍出线.(1)某队小组比赛后共得6分,是否一定从小组出线?(2)某队小组比赛后共得3分,能从小组出线吗?(3)某队小组比赛后共得2分,能从小组出线吗?(4)某队小组比赛后共得1分,有没有出线的可能?23.把一条宽为1厘米的长方形纸片对折n次,得到一个小长方形,宽仍然是1厘米,长是整数厘米.然后,从小长方形的一端起,每隔1厘米剪一刀,最后得到一些面积为1平方厘米的正方形纸片和面积为2平方厘米的长方形纸片.如果这些纸片中恰好有1282块正方形,那么,对折的此数n共有多少种不同的数值?24.圆周上的十个点将圆周十等分,连接间隔两个点的等分点,共得到圆的十条弦,它们彼此相交,构成各种几何图形.图中有多少个平行四边形?25.足球的球面由若干个五边形和正六边形拼接而成,已知有12块正五边形,则正六边形的块数是?26.在m (m ≥2)个不同数的排列P 1P 2P 3…P m 中,若1≤i <j ≤m 时,P i >P j (即前面某数大于后面某数),则称P i 与P j 构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n +1)n (n ﹣1)…321的逆序数为a n ,如排列21的逆序数a 1=1,排列4321的逆序数a 3=6.(1)求a 4、a 5,并写出a n 的表达式(用n 表示,不要求证明);(2)令b n =+﹣2,求b 1+b 2+…b n 并证明b 1+b 2+…b n <3,n =1,2,….参考答案一.选择1.解:老师在中间,故第一位同学有6种选择方法,第二名同学有5种选法,第三名同学有4种选法,第四名同学有3种选法,第五名同学有2种选法,第六名同学有1种选法, 所以共有6×5×4×3×2×1=720种.故选:D .2.解:因为1+2+3+…+11+12=78,所以78÷2=39,也就是添上负号的数的和为﹣39,其余数的和为39使代数和等于零, 要填负号最少,首先从大数前面加负号,因此﹣10﹣11﹣12=﹣33,﹣33﹣6=﹣39,由此得到至少要添4个负号.故选:A .3.解:我们用O 表示开的状态,F 表示关的状态,则各种不同的状态有OOOO ,OOOF ,OOFO ,OFOO ,FOOO ,FOFO ,OFOF ,FOOF 共8种状态. 故选:C .4.解:设小明上n 阶楼梯有a n 种上法,n 是正整数,则a 1=0,a 2=1,a 3=1. 由加法原理知a n =a n ﹣2+a n ﹣3,n ≥4.递推可得a 4=a 2+a 1=1,a 5=a 3+a 2=2,a 6=a 4+a 3=2,a 7=a 5+a 4=3,a 8=a 6+a 5=4,a 9=a 7+a 6=5,a 10=a 8+a 7=7,a 11=a 9+a 8=9,a 12=a 10+a 9=12.故选:D .5.解:如图所示,直线代表一个1×2的小矩形纸片:1+4+3=8(种).答:不同的覆盖方法有8种.故选:C.6.解:∵令每个抽屉最多有2个点,则最多有6个点,∴n≥7.故选:C.7.解:先取出堆栈(1)的数据首次取出的只能是a,可以有下列情况,abcde,acbde,acdbe,acdeb四种情况;先取出堆栈(2)的数据首次取出的只能是c,可以有下列情况,cdeab,cdabe,cdaeb,cabde,caedb,cadeb六种情况,综上所知,共10种取法.故选:C.8.解:从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后,到了C点,不同的爬行路径有:①AB﹣BC ﹣CA﹣AD﹣DC;②AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AC;③AC﹣CB﹣BA﹣AD﹣DC;④AC﹣CD﹣DA﹣AB﹣BC;⑤AD﹣DC﹣CA﹣AB﹣BC;⑥AD﹣DC﹣CB﹣BA﹣AC.共有6条.故选:C.9.解:设供选用的颜色分别为1,2,3;当A选1时,有两种情况:①C与A的颜色相同时,B、D的选法有:一、B选2,D选3;二、B选3,D选2;三、B选2,D选2;四、B选3,D选3;共4种涂色方法;②C与A的颜色不同时,选法有:一、C选2,B、D选3;二、C选3,B、D选2;共2种涂色方法;因此当A选1时,共有2+4=6种涂色方法;而A可选1、2、3三种颜色;因此总共有3×6=18种涂色方法.故选C.10.解:韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花,左侧和右侧分别只能选择三次,我们将三个左和三个右组成的排列(例如:左左右左右右是一种情况)分别对应一种搬花的顺序,并且不同的排列对应不同的搬花顺序,所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个数相同,故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数,对于这种排列只需要考虑在6个位置中选择三个为左的个数,这样的个数一共有=20.故选:D.11.解:如图所示:将图形分成①、②、③、④四部分,第①个小正方形中符合题意的三角形有3个;第②个小正方形中符合题意的三角形有4个;第③个小正方形中符合题意的三角形有4个;第④个小正方形中符合题意的三角形有4个;综上可得共有15个与图中三角形全等但位置不同的三角形,即x=15.故选:C.12.解:设同时参加两项竞赛的学生有x人,根据题意可列出方程:37=30+20+4﹣x,解得x=17(人);故选:B.二.填空13.解:∵(500×3)÷7=214(张)…2(张),又∵全部票都有效,也不会产生并列冠军,∴夺得冠军至少要获得票数=214+2=216(张)故答案为:216.14.解:棋子每走一步都有2一4种可能的选择,所以该棋子走完28步后,可能出现的情况十分复杂.如果把棋盘上的方格分成黑白相间的两类,且使每个黑格的四周都是白格,那么,棋子从黑色A格出发,第一步必定进人白格;第二步必定进人黑格,第三步又进入白格…也就是说棋子走奇数步时进人白格;走偶数步时,进人黑格,所以当棋子从A格出发28步后,必定落在黑格.故这枚棋子走28步后可能到达B处.故答案为:可能.15.解:由条件(2)知红盒不装白球,由条件(3)知白盒不装白球,故黄盒装白球.假设白盒装黄球,由条件(3)知白球比黄球少,这与条件(1)矛盾,故白盒装红球,红盒装黄球.故答案为:黄、红、白.16.解:∵x1﹣x2+x3﹣x4≥0,∴x1+x3≥x2+x4;符合条件的排列数是:P44﹣C42P22=24﹣8=16(种)故答案为:16.17.解:若A,C种同一种植物,则A,C有4×1种栽种方法,B,D都有3种栽种法,共有4×3×3=36种栽种方案;若A ,C 种不同的植物,则有4×3种栽种法,B ,D 都有2种栽种法,一共有4×3×2×2=48种栽种法.所以共有36+48=84种.故答案为:84.18.解:将穿红色服装的2名选手表示为平行直线l 1、l 2;将穿黄色服装的2名选手表示为另两条平行直线l 3、l 4;将穿蓝色、黑色服装的选手表示为相交直线l 5、l 6、且与l 1、l 2、l 3、l 4均相交,这就得到了图1,图中无三线共点.(1)“3人组”的服装均不相同时,按规则,对应着3条直线两两相交,其比赛局数恰为图中的线段数(图2)因为l 1、l 2、l 3、l 4上各有4个交点,每条直线有6条线段,共有24条线段.(2)当“3人组”有2人服装相同,按规则,其比赛局数恰好为图中的线段数(图3)因为l 5、l 6上各有5个交点,每条直线上都有10条线段,共得20条线段.两种情况合计,总比赛局数为44局.故答案为:44.19.解:因为一行有8个数,至多有3个数可以大于同行的5个数,只有当这两个数分别同时大于所在列的5个数时,涂上红色,所以一行最多有3个涂上红色,8行最多有3×8=24个涂上红色,如图所示:1所在位置,都可以涂成红色.故答案为:24.三.解答20.解:将这120人分别编号为P 1,P 2,…,P 120,并视为数轴上的120个点,用A k 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组, |A k |为该组人数,k =1,2,3,4,5,则|A 1|=24,|A 2|=37,|A 3|=46,|A 4|=54,|A 5|=85,将以上五个组分别赋予五种颜色,如果某人未做对第k 题,则将表示该人点染第k 色,k =1,2,3,4,5,问题转化为,求出至少染有三色的点最多有几个?由于|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|+|A 5|=246, 故至少染有三色的点不多于=82个,图是满足条件的一个最佳染法,即点P 1,P 2,…,P 85这85个点染第五色;点P 1,P 2,…,P 37这37个点染第二色;点P 38,P 39,…,P 83这46个点染第四色;点P 1,P 2,…,P 24这24个点染第一色;点P 25,P 26,…,P 78这54个点染第三色;于是染有三色的点最多有78个.因此染色数不多于两种的点至少有42个,即获奖人数至少有42个人(他们每人至多答错两题,而至少答对三题,例如P 79,P 80,…,P 120这42个人).答:获奖人数至少有42个人.21.解:设有x个学生,y个管理员.该宿舍每位学生与赠一张贺卡,那么每个人收到的贺卡就是x﹣1张,那么总共就用去了x(x﹣1)张贺卡;每个人又赠给每一位管理员一张贺卡,那么就用去了xy张贺卡;每位管理员也回赠舍长一张贺卡,那么就用去了y张贺卡;∴x(x﹣1)+xy+y=51,∴51=x(x﹣1)+xy+y=x(x﹣1)+y(x+1)≥x(x﹣1)+x+1=x2+1(当y=1时取“=”),解得,x≤7;x(x﹣1)+(x+1)y=51∵51是奇数,而x和x﹣1中,有一个是偶数,∴x(x﹣1)是偶数,∴(x+1)y是奇数,∴x是偶数,而x≤7,所以x只有2 4 6三种情况;当x=2时,y=(不是整数,舍去);当x=4时,y=(不是整数,舍去);当x=6时,y=3.所以这个宿舍有6个学生.22.解:(1)不一定.设四个球队分别为A、B、C、D,如四个球队的比赛结果是A战胜了B,D,而B战胜了C,D,C战胜了A,D,D在3场比赛中都输了,这样,小组赛之后,ABC三个球队都得6分,D队积0分,因此小组中的第三名积分是6分,∴不能出线;(2)有可能出线.如A在3场比赛中获得全胜,而B战胜了C,C战胜了D,D战胜了B,这样,小组赛之后,A积9分,B、C、D都积3分,因此这个小组的第二名,一定是3分出线;(3)有可能出线.如A队三战全胜,B、C、D之间的比赛都战平,这样这个小组的第二名的积分一定是2分,自然有出线的可能.(4)不可能出线.如果只得1分,说明他的3场比赛成绩是1平2负,而他负的两个球队的积分至少是3分,他就不可能排到小组的前两名,必然被淘汰.23.解:设长方形的长为a,若n=1,即对折一次,按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为:(﹣1)×2=a﹣2=1282,解得:a=1284,2|1284,符合条件;若n=2,即对折2次,按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为:(﹣1)×2+(﹣2)×(4﹣2)=a﹣6=1282,解得:a=1288,4|1288,符合条件;若n=3,即对折3次,按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为:(﹣1)×2+(﹣2)×(8﹣2)=a﹣2×(8﹣1)=1282,解得:a=1296,8|1296,符合条件;对一般的n,得到的正方形个数为;a﹣2×(2n﹣1),另a﹣2×(2n﹣1)=1282,解得:a=2×(2n﹣1)+1282=2×2n+1280,若2n|a,则符合条件,显然,当2n|1280时符合条件,1280=28×5,∴n可取1到8,对折的次数n共有8种不同的可能数值.24.解:连接圆周上的十个等分点的“对径点”,则可得5条直径,因为每条直径是一个平行四边形的较长的那条对角线,所以可得5个平行四边形.即图中有5个平行四边形.25.解:设正六边形有5x块,则正五边形有3x块,由题意得:共有12块正五边形,即3x=12,解得:x=4,5x=20.即正六边形的块数是20块.26.解:(1)由排列21的逆序数a1=1,排列4321的逆序数a3=6,得a4=4+3+2+1=10,a5=5+4+3+2+1=15,∴a n=n+(n﹣1)+…+2+1=;(2)∵a n=n+(n﹣1)+…+2+1=,b n=+﹣2,∴b n=+﹣2=+﹣2=﹣,∴b1+b2+…+b n=2[(﹣)+(﹣)+…+(﹣)]=3﹣﹣;又∵n=1,2,…,∴b1+b2+…b n=3﹣﹣<3.。